Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En analyse réelle , la formule intégrale de Lobachevski est une formule de calcul pour des intégrales impropres , du nom du mathématicien Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski . Elle est utilisée en analyse de Fourier .
Soit f une fonction réelle continue, π -périodique et telle que f (π - x ) = f (x )x strictement positif. Alors on a[ 1] , [ 2]
∫
0
+
∞
sin
2
(
x
)
x
2
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
+
∞
sin
(
x
)
x
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
π
2
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin ^{2}(x)}{x^{2}}}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f(x)\,\mathrm {d} x.}
Démonstration
La démonstration repose sur le calcul du développement en éléments simples de l'inverse du sinus :
∀
t
∉
π
Z
,
1
sin
t
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
t
−
n
π
,
1
sin
2
t
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
t
2
−
n
2
π
2
{\displaystyle \forall t\notin \pi \mathbb {Z} ,\ {\frac {1}{\sin t}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{t-n\pi }},\ {\frac {1}{\sin ^{2}t}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{t^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}}
On utilise ensuite la relation de Chasles sur les deux intégrales à noyaux, puis on fait un changement de variables :
∫
0
+
∞
sin
(
x
)
x
f
(
x
)
d
x
=
∑
n
=
0
+
∞
∫
n
π
2
(
n
+
1
)
π
2
sin
(
x
)
x
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
π
2
sin
(
x
)
x
f
(
x
)
d
x
+
∑
k
=
1
+
∞
(
−
1
)
k
∫
0
π
2
sin
(
t
)
f
(
t
)
(
1
t
−
k
π
+
1
t
+
k
π
)
d
t
=
∫
0
π
2
sin
(
t
)
f
(
t
)
[
1
t
+
∑
k
=
1
+
∞
(
−
1
)
k
(
1
t
−
k
π
+
1
t
+
k
π
)
]
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x&=\sum _{n=0}^{+\infty }\int _{n{\frac {\pi }{2}}}^{(n+1){\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x+\sum _{k=1}^{+\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(t)f(t)\left({\frac {1}{t-k\pi }}+{\frac {1}{t+k\pi }}\right)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(t)f(t)\left[{\frac {1}{t}}+\sum _{k=1}^{+\infty }(-1)^{k}\left({\frac {1}{t-k\pi }}+{\frac {1}{t+k\pi }}\right)\right]\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}
On reconnaît alors le développement en série de l'inverse du sinus, ce qui permet de conclure :
∫
0
+
∞
sin
(
x
)
x
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
π
2
sin
(
t
)
f
(
t
)
1
sin
(
t
)
d
t
=
∫
0
π
2
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(t)f(t){\frac {1}{\sin(t)}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f(x)\,\mathrm {d} x.}
L'autre partie de l'égalité se montre de façon similaire.
La formule intégrale de Lobachevski donne une méthode de calcul directe de l'intégrale de Dirichlet , en considérant la fonction f constante et égale à 1.
Les intégrales de type Lobachevski sont utilisées dans l'analyse de Fourier de fonctions périodiques ; en effet, la fonction sinus cardinal , qui apparait dans l'intégrale, est la transformée de Fourier d'une fonction porte , et la formule intégrale de Lobachevski permet donc un calcul simple de certaines intégrales en combinaison avec l'égalité de Parseval [ 3]
↑ (en) Godfrey Harold Hardy, « The Integral
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}dx}
», The Mathematical Gazette vol. 5, no 80, 1909 , p. 98-103 (DOI https://doi.org/10.1017/S0025557200127500 ↑ (en) Hassan Jolany, « An extension of Lobachevsky formula », Elemente der Mathematik vol. 73, 2018 , p. 89-94 (lire en ligne ) ↑ (en) Runze Cai, Horst Hohberger et Mian Li, « Lobachevsky-type Formulas via Fourier Analysis », Elemente der Mathematik 2020 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x&=\sum _{n=0}^{+\infty }\int _{n{\frac {\pi }{2}}}^{(n+1){\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x+\sum _{k=1}^{+\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(t)f(t)\left({\frac {1}{t-k\pi }}+{\frac {1}{t+k\pi }}\right)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(t)f(t)\left[{\frac {1}{t}}+\sum _{k=1}^{+\infty }(-1)^{k}\left({\frac {1}{t-k\pi }}+{\frac {1}{t+k\pi }}\right)\right]\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0479ce39b2edd5b7b39eadc42829d4f90a553ffd)
