Formulaire de développement en série entière

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Ce formulaire de développement en séries recense des développements en séries de fonctions pour les fonctions de référence. Beaucoup sont des séries entières. Elles sont données avec indication du rayon de convergence dans le champ complexe ou réel. La notation D(a, r) représente la boule fermée de \mathbb{C} centrée en a et de rayon r et B_n est le n-ième nombre de Bernoulli.

Binômes[modifier | modifier le code]

  • \forall x\in D(0,1),\, {1\over{1-x}}=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{x^n}.
  • \forall x\in\,]-1,1[,\ \forall \alpha\,\in\, \mathbb{R},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}.
  • \forall x\in\mathbb{R},\, \forall \alpha\,\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{\alpha}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}=\sum_{n=0}^{\alpha}{{\alpha \choose n}\, x^n}.

Fonctions exponentielles et logarithmique[modifier | modifier le code]

Pour tout nombre complexe z et tout réel a > 0 :

  • {\rm e}^z=\sum_{n=0}^{+\infty}{\frac{z^n}{n!}}=1+\frac z{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots
  • a^z={\rm e}^{z\ln a}=1+\frac{\ln a}{1!}z+\frac{(\ln a)^2}{2!}z^2+\frac{(\ln a)^3}{3!}z^3+\frac{(\ln a)^4}{4!}z^4+\cdots
  • |z|\le1\text{ et }z\ne-1\Rightarrow\ln (1+z)=z-\frac{z^2}2+\frac{z^3}3-\frac{z^4}4+\cdots

Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses[modifier | modifier le code]

Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses[modifier | modifier le code]

  • \forall x\in\mathbb{C},\, \operatorname{sinh}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2n+1}}{(2\,n+1)!}} = x + \frac{x^3}{3!} +  \frac{x^5}{5!} +  \frac{x^7}{7!} + ...
  • \forall x\in\mathbb{C},\, \operatorname{cosh}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2n}}{(2\,n)!}} = 1 +  \frac{x^2}{2!} +  \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + ...
  • \forall x\in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[, \operatorname{tanh} =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}B_n x^{2n-1} = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + ...
  • \forall x\in ]0,\pi[, \operatorname{coth} =\frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{2n}}{(2n)!}B_n x^{2n-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 + \frac{2}{945}x^5 - ...
  • \forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{arsinh} \,x=x + \sum_{n=1}^{+{\infty}}\,(-1)^n \frac{(2\,n)!}{(n!\,2^n)^2} \times \frac{x^{2n+1}}{2\,n+1} = x - \frac{1}{2\cdot 3}x^3 + \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}x^5 - \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}x^7 +...
  • \forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{arcosh} \,x= \ln(2x) - \sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\frac{(2\,n)!}{(n!\,2^n)^2} \times \frac{1}{2n\times x^{2n}} = \ln(2x) - \frac{1}{2\cdot 2x^2} - \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 4x^4} - \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 6x^6} -...
  • \forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{artanh} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + ...
  • \forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{arcoth} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,\frac{1}{2(n+1) \times x^{2n+1}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{5x^5} + \frac{1}{7x^7} + ...

Voir aussi[modifier | modifier le code]