Fonction harmonique

En mathématiques, une fonction harmonique est une fonction qui satisfait l'équation de Laplace.

Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : étant donné une fonction continue définie sur la frontière d'un ouvert, peut-on la prolonger par une fonction qui soit harmonique en tout point de l'ouvert ?

Définition

Soit U un ouvert de ℝⁿ. Une application f : U → ℝ deux fois différentiable est dite harmonique sur U si

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0$,

ce qui s'écrit aussi (en utilisant l'opérateur nabla) :

$\nabla ^{2}f=0$,

ou encore (où la lettre grecque delta majuscule représente l'opérateur laplacien) :

$\Delta f=0$.

Une telle fonction est automatiquement de classe C^∞.

Fonction harmonique sur ℂ

En identifiant ℂ à ℝ², on va voir que les fonctions harmoniques sont très liées aux fonctions holomorphes.

• La partie réelle d'une fonction holomorphe ou anti-holomorphe sur un ouvert de ℂ est harmonique.

La réciproque de cette propriété est fausse, par contre on a :

• Soit Ω un ouvert simplement connexe de ℂ ; toute fonction harmonique sur Ω est la partie réelle d'une fonction holomorphe sur Ω.

Articles connexes

• Fonction sous-harmonique
• Harmonique cylindrique
• Harmonique sphérique
• Théorème de Radó
• Inégalité de Harnack
• Fonction harmonique positive