Domino (mathématiques)

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Un domino libre

En mathématiques, un domino est un polyomino d'ordre 2, c'est-à-dire un polygone dans le plan constitué de deux carrés de taille égale reliés bord à bord[1]. Lorsque les rotations et les réflexions ne sont pas considérées comme des formes distinctes, il n'y a qu'un seul domino libre.

Comme il a une symétrie de réflexion, c'est aussi le seul domino unilatéral (avec des réflexions considérées comme distinctes). Lorsque les rotations sont également considérées comme distinctes, il existe deux dominos fixes : le second peut être créé en faisant pivoter celui-ci de 90°[2],[3].

Un carrelage domino est un revêtement d'un autre polyomino avec des dominos. Ceux-ci figurent dans plusieurs problèmes célèbres, y compris le problème du diamant aztèque dans lequel les grandes régions en forme de diamant ont un nombre de pavages égal à une puissance de deux[4], la plupart des pavages apparaissant au hasard dans une région circulaire centrale et ayant une structure plus régulière à l'extérieur de ce «cercle arctique», et le problème de l'échiquier mutilé, où l'enlèvement de deux coins opposés d'un échiquier rend impossible le maillage avec les dominos[5].

Dans un sens plus large, le terme domino est souvent compris comme signifiant simplement une tuile de n'importe quelle forme[6].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Solomon W. Golomb, Polyominoes, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, (ISBN 0-691-02444-8)
  2. Eric W Weisstein, « Domino », From MathWorld – A Wolfram Web Resource (consulté le 5 décembre 2009)
  3. D. Hugh Redelmeier, « Counting polyominoes: yet another attack », Discrete Mathematics, vol. 36,‎ , p. 191–203 (DOI 10.1016/0012-365X(81)90237-5)
  4. Noam Elkies, Greg Kuperberg, Michael Larsen et James Propp, Alternating-sign matrices and domino tilings. I, vol. 1, , 111–132 p. (DOI 10.1023/A:1022420103267, Math Reviews 1226347), chap. 2
  5. N. S. Mendelsohn, Tiling with dominoes, vol. 35, Mathematical Association of America, , 115–120 p. (DOI 10.2307/4146865, JSTOR 4146865), chap. 2.
  6. Robert Berger, « The undecidability of the Domino Problem », Memoirs Am. Math. Soc., vol. 66,‎