Dodécaèdre rhombique tronqué

Dodécaèdre rhombique tronqué

Type	Quasi-solide de Johnson
Faces	6 carrés 12 hexagones
Arêtes	48 (2 types)
Sommets	32 (2 types)
Configurations de sommets	(24) 4.6.6 (8) 6.6.6
Groupe de symétrie	O_h
Polyèdre dual	-
Propriétés	Convexe, zonoèdre, faces hexagonales équilatérales mais non équiangles

Le dodécaèdre rhombique tronqué est un polyèdre convexe obtenu par la troncature des six sommets du dodécaèdre rhombique où quatre faces se réunissent.

Les six sommets sont tronqués de façon que les arêtes soient de même longueur. Les douze faces rhombiques deviennent des hexagones, et les sommets tronqués deviennent des carrés.

Les faces hexagonales sont équilatérales, mais pas régulières, car elles ont des angles inégaux : deux angles opposés valent environ $\arccos {\biggl (}{\frac {-1}{3}}{\biggl )}\approx 109,47^{\circ }$ et les quatre autres valent environ 125,26°. (Les authentiques hexagones réguliers ont 120° à chaque angle.)

C'est un zonoèdre : toutes ses faces ont un centre de symétrie.

Patron[modifier | modifier le code]

Ambiguïtés[modifier | modifier le code]

Il ne faut pas confondre le dodécaèdre rhombique tronqué avec l'octaèdre tronqué, qui lui ressemble beaucoup :

Dodécaèdre rhombique tronqué	Octaèdre tronqué

Malgré les apparences, et bien que convexe, le dodécaèdre rhombique tronqué n'est pas un solide de Johnson, car pas toutes ses faces sont strictement régulières ; c'est également le cas du triakitétraèdre tronqué et du triacontaèdre rhombique tronqué.

Le nom « dodécaèdre rhombique tronqué » est ambigu, car seulement six sommets ont été tronqués, or l'appellation « polyèdre tronqué » est généralement réservée aux polyèdres dont tous les sommets ont été tronqués. En tronquant les quatorze sommets d'un dodécaèdre rhombique, on obtient un tout autre polyèdre.

Mesures et volume[modifier | modifier le code]

Une œuvre d'art composée de dodécaèdres rhombiques tronqués : *Système* de Pierre Granche, station de métro Namur, Montréal.

Si son arête a pour longueur $a$ ,

son volume vaut :
$V=a^{3}\times {\biggr (}8+{\frac {40{\sqrt {3}}}{9}}+{\sqrt {\frac {19+8{\sqrt {3}}}{3}}}{\biggr )}\approx a^{3}\times 19{,}0074$ ;
son aire est de :
$A=a^{2}\times {\biggr (}6+8{\sqrt {2}}(1+{\sqrt {3}}){\biggr )}\approx a^{2}\times 36{,}9096$ ;
le rayon de la sphère passant par les centres des carrés vaut :
$r_{4}=a\times {\sqrt {\frac {{\frac {19}{2}}+4{\sqrt {3}}}{6}}}\approx a\times 1{,}6547$ ;
le rayon de la sphère passant par les centres des hexagones vaut :
$r_{6}=a\times {\biggr (}{\frac {{\sqrt {\frac {8}{3}}}+{\sqrt {2}}}{2}}{\biggr )}\approx a\times 1{,}5236$ .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Dodécaèdre tronqué

Liens externes[modifier | modifier le code]

VRML model [1]
- VTML polyhedral generator Try "t4daC"

Crédit d'auteurs[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Truncated rhombic dodecahedron » (voir la liste des auteurs).

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