Discussion utilisateur:Michel421/Nombre cardinal

Quelques idées

• En première partie, je verrais bien un paragraphe visant l'élève du secondaire aussi bien que l'humaniste, pas forcément très cultivé, mais qui souhaite comprendre le mot cardinal quand il est utilisé sans piège particulier, comme par exemple l'ordre d'un groupe fini ou encore la dimension d'un espace vectoriel quand elle est finie. Pour lui, autant rester très simple, ne pas introduire de subtilité formelle trop lourde. Bref autant rester naïf. La force de WP est que nous disposons que bons testeurs, des humanistes ouverts et curieux, mais qui n'ont pas bac + 18 en maths. Je verrais un plan du style :
• Cardinal d'un ensemble fini

Définition (le truc simple : un ensemble de cardinal 4 c'est un ensemble à 4 éléments. deux ensembles ont même cardinaux s'il existe une bijection entre les deux.)

Premières propriétés (encore un truc simple, les cardinaux ça s'additionne avec l'union, ça ce multiplie avec le produit cartésien, en bref c'est sympa, cela ressemble vachement à des nombres entiers.

• En deuxième partie, je verrais bien développé l'idée suivante : Les cardinaux, finalement c'est un truc pour répondre à une question bien embarrassante : qu'est ce qu'un nombre entier. On sait bien construire Z avec N, Q avec Z, R avec Q, C avec R, puis les espaces vectoriels, puis les variétés et tout le toutim, mais comment construire N ? L'astuce, ce serait de dire que n est l'ensemble union de 0, 1, ..., n-1. C'est simple et de bon gout, 0 c'est nécessairement l'ensemble vide et le reste se construit par récurrence. L'avantage, c'est qu'ainsi la théorie des ensembles permet de construire tous les objets mathématiques. Le pont avec les cardinaux est évident, il fait même sens de parler de nombre cardinal. Un ensemble E est de cardinal n lorsqu'il existe une bijection entre E et n. Malheureusement, on ne peut pas parler de relation d'équivalence car l'ensemble de tous les ensembles n'existent pas, on parle alors d'équipollence. Cette approche possède un gros avantage, on peut enfin démontrer l'existence de N et de ses propriétés basiques : l'ensemble est bien ordonné etc... Si l'on veut être logique, il faut faire bien attention on utilise des axiomes un peu bizarres celui du choix, l'existence d'un ensemble qui n'est pas de cardinal fini, la récurrence ... Avant de proposer un plan et un découpage pour savoir ce qui va dans cet article et ce que l'on doit retrouver dans Construction des nombres entiers, je pense qu'il vaut mieux vérifier que la direction que je préconise possède l'aval de Michel, Proz ou Ambigraphe. Pour moi, le rêve c'est un article sans arnaque ni incantation vaudou. Si on a besoin de l'axiome du choix, il faut que le lecteur comprenne pourquoi. A quoi cela sert d'avoir de magnifiques articles de logique si, à la moindre occasion et celle là n'est pas la moindre, on utilise des incantations dont le lecteur ne comprend ni la nécessité ni le modus opérandi. Néanmoins, pour garder l'article grand public, je verrais bien l'aspect plus précis et démonstratif dans Construction des nombres entiers. Je verrais bien un style à la Proz, on comprend la nécessité, on comprend l'idée, mais on évite la rigueur trop lourde qu'impose une vraie démonstration logique.

• En troisième partie, on rapplique Cantor. Avec la définition de la deuxième partie, on peut aller plus loin. L'équipollence ne s'applique pas uniquement aux ensembles finis. Par exemple, on peut étudier les ensembles équipollents à N, on les appelle ensemble dénombrables. Je verrais bien 3 lignes d'explications du style : Oh c'est drôle l'union de deux ensembles disjoints dénombrables comme les nombres pairs et impairs est encore dénombrable et donc n'est pas plus grand que le cardinal initial. Oh c'est drôle, c'est la même chose pour le produit cartésien. Il ne faut surtout pas aller plus loin, ensemble dénombrable est fait pour cela.

On termine par l'existence d'un nombre cardinal pour des ensembles non dénombrables, cela existe, si si regarder les nombres réels par exemples, ou les parties de N. Pas la peine d'aller beaucoup plus loin, le nombre ordinal est fait pour cela.

En conclusion, pour la première partie, je verrais quelque chose qui ne déborde pas d'une problématique du secondaire. Je propose des jolis schémas (que je peux faire si Michel est preneur) , des exemples simples. Pour moi, la phrase : le cardinal de l'ensemble {a, b, c} est égal à 3 doit être pris au sens très naïf. Pas besoin de complexité avec les mots équipollence, propriétés etc... Le lecteur doit tout comprendre, même s'il a 12 ans. La deuxième partie doit être intégralement compréhensible par un élève de sup et les propriétés associées décrites et abordés précisément dans l'article complémentaire. Est ce que je fais toujours sens ? Jean-Luc W (d) 29 septembre 2008 à 17:02 (CEST)

« un ensemble de cardinal 4 est un ensemble qui a 4 éléments » OK mais tu dis ça au teenager moyen ou à l' « humaniste pas forcément très cultivé » il répondra : « pourquoi vous avez dit cardinal ? Ça n'apporte rien ». Il faut quand même deux mots d'explication...... surtout si après tu veux embrayer sur l'ordre d'un groupe fini ou la dimension d'un espace vectoriel (ce qui n'est pas simple du tout et probablement hors sujet). --Michel421 (d) 30 septembre 2008 à 20:40 (CEST)

Globalement je suis quand même d'accord avec ce que tu dis, le pb ça va être qu'il faudra bien déboucher sur des définitions et à un moment ou un autre ça va interférer avec d' autres articles. En ce qui concerne Construction des entiers naturels IMHO ça mérite d'être fusionné, soit avec cet article, soit avec entier naturel. --Michel421 (d) 1 octobre 2008 à 00:31 (CEST)

Tel que je vois les choses, pour la première partie, qui vise le teenager, le gain qu'il devrait trouver est la compréhension naïve du mot cardinal. C'est juste le nombre d'éléments d'un ensemble. Qu'est ce que ça apporte ? Il fallait bien donner un nom à cette chose, une fois cette vision acquise, on comprend l'usage du mot cardinal. On peut même parler de cardinal infini, avec la vision d'Euclide : un cardinal est infini s'il n'est pas fini. C'est bête et ça marche bien (et je suis hors sujet avec l'ordre d'un groupe). Pour comprendre ce paragraphe, le lecteur ne s'est pas pris la tête, en contre partie il ne doit pas espérer plus qu'une compréhension simplette du mot cardinal. J'identifie ce public à ma fille de 10 ans, à qui je parle de cardinal, comme mes maîtresses du primaire l'avaient fait pour moi. Le public est d'après mes calculs entre 2.500 à 5.000 visites mois

La deuxième partie montre que la première vision est un peu une arnaque, du même style que celle des droites parallèles avec Euclide. En logique pure, le serpent se mord la queue. Le concept de cardinal présenté supposait que le nombre n était déjà défini. Dommage, car pour définir le nombre n on a besoin du cardinal. Si l'investissement est plus lourd, il apporte une réponse à une question beaucoup plus difficile : Comment fonder les mathématiques de manière consistante ? Le prix à payer est maintenant, par exemple, de s'offrir une définition rigoureuse, qui, à mes yeux est trop cher à comprendre si l'intérêt du lecteur n'est pas de savoir comment fonder les choses de manière rigoureuse. Le public ici, c'est moi, nous sommes probablement entre 300 à 500 visites mensuels.

Sur la logique, Proz et ses acolytes sont en bonne voie de gagner leur pari. WP est maintenant très probablement la première source francophone d'information sur les fondements des mathématiques. Plus de 2000 lecteurs ont visité l'article théorème d'incomplétude de Gödel en septembre. Proportionnellement, aucun pays n'a réussi à obtenir une audience comparable sur des sujets aussi pointus. A mes yeux, ces lecteurs doivent disposer de toutes les informations nécessaire pour comprendre l'articulation essentielle qu'est le cardinal. Sur l'accessibilité, nous avons plus de mal. Entier naturel correspond pour moi à un article super simple qui explique que les nombres positifs disposent des propriétés que tout teenager bien élevé devrait connaître. Il existe une addition, une multiplication une division euclidienne et, si l'on creuse, on finit par trouver la décomposition unique d'un entier en facteurs premiers (en bref, ce que connaissait intuitivement Fermat et qui correspond au public de ma fille, de l'ordre de 10.000 visites mois). Construction des entiers naturels correspond à des questions beaucoup plus délicates, ouvertes par Cantor ou Hilbert, qui intéresse probablement 300 à 500 lecteurs par mois. Proposer à ma fille d'écouter Proz, c'est la recette pour un désastre. M'imposer le didactisme d'Ambigraphe, ne fera que me faire bailler.

Si nous sommes d'accord, avant de continuer, j'imagine qu'il faudrait faire valider le plan par des profils comme Epsilon, Ambigraphe, Proz, HB ou d'autres. Je suis à ta disposition pour faire de jolies images si tu le souhaites. Jean-Luc W (d) 1 octobre 2008 à 10:36 (CEST)

Un plan un peu différent

Désolé je n'ai pas énormément de temps en ce moment, et je découvre aujourd'hui cet débat. J'avais un peu réfléchis à un plan. Je le présente en le comparant avec celui de Jean-Luc. Essentiellement je n'ai pas vraiment sa seconde partie, qui passe un peu en quatrième partie. Je sépare la théorie de l'équipotence, et la définition par les ordinaux.

J'ai l'impression qu'il faut motiver dès l'introduction par la nécessité de passer à l'infini, sans aucun détail technique. (au fait est-ce que l'on a besoin de dire autre chose que nombre d'élements dans le secondaire ?) On embraye sur le fini pour constater que l'idée intuitive "avoir même nombre d'élements" se définit sans parler de nombre. Idem "avoir moins d'élements", et pourquoi pas réunion et intersection. Plus généralement tout ce qui montre que l'on peut se passer des nombres pour ces questions (se partager des bonbons dans une cour de récré par exemple, pas besoin de compter). C'est votre première partie, je crois.

Pour la deuxième partie, de Jean-Luc, la définition des entiers : ça a été un débat au XIXe (que je ne connais pas avec précision). Est-ce que la définition ensembliste apprend vraiment quelque chose sur les entiers ? Il me semble que c'est encore trop tôt pour être formel. On peut faire quelques remarques, la nature itérative des entiers (récurrence), dont les cardinaux ne disent rien. Les entiers ordinaux (premier, second ...). Eventuellement parler de l'unité, de l'opération successeur, du zero, mais sans être formel. Ca peut être aussi une discussion à la fin de la première partie. Je ne pense pas ce que propose Jean-Luc fonctionne.

La troisième partie : cardinalité infinie, d'accord en partie mais pas avec la limitation au dénombrable. ce serait plutôt tout ce qui peut se dire sans vraiment définir les cardinaux (l'équipotence suffit). Il faut, sans entrer dans les détails, mentionner en plus de ce que dit Jean-Luc, la non dénombrabilité de R. L'équipotence passe à l'union disjointe, au produit cartésien, ensemble de parties, de fonctions. Les exemples sont essentiellement le dénombrable et le continu. On peut parler en terme compréhensible à ce niveau de HC.

Dans un autre paragraphe : les problèmes que pose la définition d'infini, on choisit "contient un ensemble dénombrable" pour ne pas avoir à parler d'axiome du choix, réunion d'un ensemble fini et d'un ensemble infini etc.

Dans un autre paragraphe : les questions naturelles sur la subpotence. Est-ce un ordre (Cantor-Bernstein), total (il faut AC).

Dans une quatrième partie : les problèmes de fondements, on commence de parler d'axiomatisation. Le problème de la définition par classe d'équivalence. Choisir un représentant par classe.

On commence par la définition des entiers, on règle au passage la question de comment définir proprement qu'un ensemble est fini, on revient sur la définition d'ensemble infini (AC intervient).

On mentionne ensuite la définition par ordinaux, en précisant les axiomes nécessaires (remplacement pour les cardinaux des ensembles bien ordonnés, axiome du choix pour tous les ensembles). Quelques exemples de ce que ça permet de dire, les alephs, retour sur HC.

Je ne détaille pas mais bien-sûr il faut s'appuyer sur des articles secondaires. Proz (d) 3 octobre 2008 à 21:22 (CEST)

J'achète complètement les idées de Proz. Jean-Luc W (d) 5 octobre 2008 à 12:04 (CEST)

Pas d'objection sur ce plan (je n'en n'ai pas pour ma part), même si il me sera plus clair quand les différentes sections seront initiées. Sinon le lieu d'intervention se fait où, sur Nombre cardinal sur Utilisateur:Michel421/Nombre cardinal ou sur un autre brouillon (vu que l'on a 2 articles + 1 plan)? Et quid de la fusion? --Epsilon0 ε₀ 7 octobre 2008 à 22:10 (CEST)