Construction des entiers naturels

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Il existe plusieurs méthodes classiques de construction des entiers naturels mais celle des entiers de von Neumann est souvent regardée comme la plus simple.

Méthode de von Neumann[modifier | modifier le code]

Partant de la théorie des ensembles, on identifie 0 à l'ensemble vide, puis on construit un entier naturel comme l'ensemble des entiers naturels qui le précèdent. Plus précisément, les entiers naturels sont construits à partir des règles suivantes :

  1. L'ensemble vide est un entier naturel noté 0 ;
  2. Si n est un entier naturel, l'ensemble n U {n} est aussi un entier naturel, appelé le successeur immédiat de n ;
  3. Tout entier naturel est construit à partir des règles 1 et 2.

Par exemple, le successeur immédiat de 0 est : 0 U {0} = {0} = 1

Celui de 1 : 1 U {1} = {0} U {1} = {0,1} = 2

Celui de 2 : 2 U {2} = {0,1} U {2} = {0,1,2} = 3

L'axiome de l'infini est nécessaire pour assurer l'existence d'un ensemble contenant tous les entiers naturels. L'intersection de tous les ensembles de ce type (contenant 0 et clos pour l'opération successeur) est alors l'ensemble des entiers naturels. On peut vérifier que ce dernier satisfait les axiomes de Peano.

Dès lors, on peut définir l’addition de deux entiers +, leur multiplication ⋅, et la puissance, par récurrence, en posant pour tout naturels et  :

Les propriétés usuelles de ces trois lois se démontrent ensuite toutes par récurrence, en utilisant les propriétés du rang 1. On établit ainsi dans l’ordre l’associativité de +, la commutativité de +, la distributivité à gauche de ⋅ sur +, la neutralité à gauche et à droite de 1 pour ⋅, la distributivité à droite de ⋅ sur +, la commutativité de ⋅, la transformation de la somme en produit puis finalement la transformation du produit en puissance par l’exponentiation.

Méthode de Peano[modifier | modifier le code]

Une approche alternative pour la construction des entiers naturels repose les axiomes de Peano. Cette approche est très utilisée en informatique par les outils de démonstration automatique de théorèmes et de réécriture de termes; dans ces outils, les entiers naturels sont représentés comme des termes algébriques construits à partir de deux opérations zero et succ: l'entier 0 correspond au terme zero, l'entier 1 au terme succ (zero), l'entier 2 au terme succ (succ (zero)), et ainsi de suite.

Voir aussi[modifier | modifier le code]