Discussion:Ur-element

Article créé pour partie à partir de l'article anglais.

• Une phrase dans l'article anglais m'a posé pb (aussi bien sur la traduction que sur le fond):

"NFU is consistent with the axiom of choice whereas NF disproves it."

je l'ai traduite par :

"Aussi NFU tolère l'ajout de l'axiome du choix alors que ce n'est pas le cas de NF." Il est clair que si NFU est une sur-théorie (au langage près) de NF elle ne peut être compatible avec un axiome que rejette sa sous-théorie. NFU (que j'ignore, je découvre en traduisant cet article) a t-elle des axiomes (/extensionalité, etc ...) qui rendent cette situation possible ou est-ce une boulette du rédacteur anglophone (qui précise :"It has been found that adding urelements to the system NF to produce NFU has some *surprising consequences*" ). Je laisse un mot sur la page en anglais.

• Il serait bon d'ajouter un paragraphe sur l'étymologie. Perso j'ai toujours vu orthographié en français ce mot "Ur-element" ou "urelement" sans accent sur les "e", d'où le nom de l'article (pas simplement car en anglais il n'y a pas d'accent!). Et aussi "Ur" qui doit sans doute vouloir dire qqch comme "sous" provient de quelle langue? C'est pas mésopotamien quand même Ur :-) ? --Epsilon0 24 mai 2007 à 20:16 (CEST)

Personnellement je militerais pour l'utilisation de l'accent en français, même si les auteurs francophones n'ont pas (toujours) pris la meine de mettre un accent, simplement parce qu'ils font aussi leurs publications en anglais. En fac (il y aquelques années), mes profs mettaient des accents sansque cela induise une différence, ou ne tentaient pas de corriger, puisque sémantiquement c'était bien la même chose (pour un mathématicien, on dirait qu'on a déjà unifié les "éléments" français avec les "elements" anglais, et en appliquant le même principe extensionalité qui a servi à définir les "ur-elements" en tant que compléments des "elements" avec lesquels ils peuvent différer, et en considérant que la théorie des ensembles ne dit rien au fait que les "ur-elements" sont ou ne sont pas des "elements" (c'est-à-dire des ensembles), on peut démontrer établir une relation sémantique bijective avec des "ur-éléments" en français aussi (faute de quoi les mathématiques n'ont plus de sens que en anglais!).

Vouloir ne pas mettre d'accent en français revient à vouloir rompre la proximité (qui peut même être une égalité au sens de l'identité, puisque la théorie des ensembles le permet!) entre "elements" et "ur-éléments" qui existe en anglais pour introduire une différence graphique et sémantique en français entre "éléments" et "ur-éléments"...

Quand à la signification du préfixe "ur-" je la rattache moi aussi au terme mésopotamien, qui prend sens ici car cette civilisation est une desplusanciennes connues àavoir utilisé et défini un système numérique et mathématique : le préfixe prend un sens de "ancestral", "initial" et utilisables en tant qu'axiomes ultimes et indépendants complétant la théorie des ensembles. Mais on note que l’ensemble des d'ur-éléments est isomorphe à l'ensemble des parties finies de n'importe quel ensemble de la théorie des ensembles. Cela permet d'identifier (par bijection) n'importe quel ur-élément avec une partie finie de n'importe quel ensemble.

Note: l'article anglais semble mentionner l'origine allemande du préfixe "ur-" (et en allemand il n'y a pas d'accent non plus, mais l'orthographe du mot "Element" est la même à l'exception près de la capitale obligatoire en allemand en initiale, pas en milieu de mot, et requise en anglais comme en français pour l'initiale en début de phrase), cependant je ne trouve pas non plus de référence que ce préfixe soit allemand. Le wikitionnaire allemand ne relève que le substantif neutre sumérien "ur" qui signifierait la honte (sans aucun rapport visible)... Si ça vient vraiment d'un préfixe allemand, c'est peut-être une abbréviation néologique de unter- et on traduirait donc ici par "sous-élément" ou en abrégeant aussi "ss-élément", ou en cherchant mieux, puisque c'est une classe à part de la théorie des ensembles, on pourrait utiliser "exo-élément" (préfixe à prendre au sens de "externe", "indépendant", "non lié nécessairement au système étudié", "libre") ou peut-être mieux avec "para-élément" (lié uniquement par analogie de forme mais indépendant dans son comportement et fonctionnant de façon différente avec ses propres propriétés, alors que "exo-" pourrait impliquer une différence nécessaire, une exclusion et donc une non totale liberté de comportement ou de propriété, le préfixe "para-" autorisant le comportement par analogie sans les rendre obligatoires)...

Personnellement je préfère le mot "atome" en tant qu'entité indivisible ayant son comportement et ses propriétés propres, et qui peut faire partie d'un grand nombre d'ensembles ; chacun de ces ensembles peut alors être divisé en une unique partition faite de singletons (des ensembles élémentaires) ne contenant chacun qu'un seul atome (chaque atome n'étant pas nécessairement identifié à l'ensemble singleton qui le contient, bien que les mathématiques le font souvent par extension de notations).

De nombreux isomorphismes sont utilisés en mathématiques pour étudier les propriétés des ensembles et démontrer des théorèmes (par exemple on peut identifier chacun des entiers naturels finis, défini en tant qu’ur-élément, comme étant isomorphe au sous-ensemble d'une partie finie d'un ensemble contenant des ensembles de même cardical; on peut identifier l'ensemble des entiers eux-mêmes (définis en tant qu'ensembles dénombrables) comme étant isomorphe à l'ensemble dénombrable de ses parties, grace à un dénombrement "en zig-zag":

Par exemple avec l'isomorphisme p défini de N vers P(N) tel que:

• p(0)={},p(1)={0} (la somme des éléments de ces différentes parties vaut 0, ces 2 parties sont énumérables), puis
• p(2)={1},p(3)={0,1} (la somme des éléments de ces différentes parties vaut 1, ces 2 parties sont énumérables), puis
• p(4)={2},p(5)={0,2},p(6)={1,1} (la somme des éléments de ces différentes parties vaut 2, ces 3 parties sont énumérables), puis
• p(7)={3},p(8)={0,3},p(9)={1,2},p(10)={0,1,2} (la somme des éléments de ces différentes parties vaut 3, ces 4 oarties sont énumérables), etc...

Avec cette bijection, on voit facilement que les ur-éléments (isomorphes avec des entiers) peuvent être facilement être identifiés avec des ensembles d'entiers donc n'importe quel enemble d'ur-éléments (cela ne dépend que de l'isomorphisme choisi).

Il y a bien une différence sémantique (car selon l'isomorphisme choisi, qui n'est pas unique, on peut avoit des ensembles différents qui peuvent correspondre à chaque ur-élément), mais cela permet de choisir un isomorphisme particulier pour l'unification des ur-éléments et des éléments d'un ensemble en choisissant.

Note: l'ensemble des isomorphismes possibles pour cette identification est aussi isomorphe à chacun de ses éléments, ce qui signifie qu'il est dénombrable, pourtant il ne se contient pas lui-même! Pour ne pas introduire de contradiction, il faut éviter toute autoréférence et ne pas dire que cet ensemble se contient lui-même (bref tout "ensemble de" quelquechose ne se contient jamais lui-même quelque soit la proposition utilisé pour le restreindre et non le définir (et dans ce cas cette proposition peut devenir un prédicat valide pour la théorie et l'algèbre des prédicats). La proposition "définissant" un ensemble n'est valide que si elle obéit à l'algèbre des prédicats, et admet l'existence du prédicat contraire sans introduire de contradiction dans la théorie ensembliste en créant alors une proposition contradictoire ou violant un de ses axiomes. C'est pourquoi toutes les propositions possibles ne sont pas utilisables pour les ensembles, et ne le définissent pas complètement. En fait, ces propositions sont des prédicats qui restreignent l'ensemble à définir, à partir du plus grand ensemble théorique (mais nécessairement inexistant car il devrait alors s'inclure lui-même) contenant tous les ensembles. On pourrait noter cet ensemble théorique avec le symbole infini (∝) en disant que ce n'est pas un ensemble au même titre que les éléments qu'il incluerait c'est à dire des ensembles, alors que l'ensemble des parties de l'infini existe (mais ne se contient pas lui-même) et inclue n'importe quel autre ensemble. Cet infini ensembliste est une borne limite qui ne peut être atteinte. De même l'ensemble des entiers ne contient pas l'infini, lequel n'est isomorphe à aucun ensemble ni aucune partie d'un ensemble ni aucun de ses éléments, ni associable bijectivement à aucun des entiers ni aucun ur-éléments.

Verdy p 5 octobre 2007 à 01:53 (CEST)

Le lien vers l'article anglais [1] ne marche pas, quelqu'un voit pourquoi? --Epsilon0 24 mai 2007 à 20:37 (CEST)

Retour à la version du 10 juillet 2007 : distingeur de cette façon les Urelements c'est de la syntaxe, ça n'a rien à voir avec le raisonnement binaire ou non (on peut tout à fait avoir des Urelements en logique intuitionniste par ex.). Pour l'origine : c'est un préfixe qui existe en allemand et veut dire "qui vient au début" (et sûrement d'autres choses, demander à un germaniste). On le trouve dans d'autres mots, l'orthographe allemande correcte devrait être Urelement. Probable que ça vienne des origines de la théorie des ensembles (la théorie de Zermelo avait des atomes me semble-t-il). Pour l'orthographe en français : autant dire atome, élément primitif, ou sinon garder l'orth. d'origine (ça se prononce à l'allemande). Proz 5 octobre 2007 à 23:02 (CEST)

Relecture

• Je viens d'enlever une phrase affirmant que la cohérence relative de NFU vis à vis de NF serait un pb ouvert, or d'après en:Urelement Jensen a montré la cohérence relative de NFU vis à vis de l'arithmétique de Peano ! Ca laisse le paragraphe un peu bancal.

• La section "intérêt des Ur-elements en math. appli." n'est pas du tout convaincante, en l'absence de sources (dont je doute), je propose d'effacer. Il me semble que les théories avec Urelements sont parfois considérées comme plus "naturelles" pour formaliser les maths, on peut avoir par ex. les entiers sans avoir à grimper dans la hiérarchie des ensembles (contruite par ensemble des parties). Proz (d) 12 mars 2008 à 20:16 (CET)

Je n'ai pas bien regardé les modif, concernant les thms de cohèrences relatives attention p.e. aux conclusions hâtives, voir la discussion surl'article anglais. User:Arthur Rubin qui semble un spécialiste du domaine (thèse sur le sujet je crois) n'a pas l'air de trop savoir, il faudrait p.e. lui reposer la question. --Epsilon0 ε₀ 12 mars 2008 à 22:57 (CET)

Mais ils ne disent rien de tel sur en (c'est NF dont la cohérence relativement à quelque théorie que ce soit n'est pas connue). La question en suspend sur la page de discussion n'est pas du tout celle-là. Proz (d) 13 mars 2008 à 01:01 (CET)

1. concernant "la cohérence relative de NFU vis à vis de NF serait un pb ouvert" en effet j'ai du avoir une hallucination en l'écrivant, je ne comprends pas (surtout après la discussion angalise)! Sinon pour étoffer le §§ "bancal" on peut traduire le §§ anglais.

2. Concernant le §§ "intérêt des Ur-elements en math. appli." d'ac ce n'est pas totalement convaincant (dont le titre) et l'exemple est un peu bidon, néanmoins je crois que l'on peut néanmoins reformuler et sourcer. L'idée est d'expliquer la démarche usuelle qui correspond à se donner un ensemble d'objets primitifs, qui certes peuvent êtres des entiers (mais eux on sait les construire formellement si nécessaire et donc qui peuvent être vu comme des abréviations) mais aussi des "objets empiriques" (qui eux seraient impossibles à construire ... mais que ça ne pose pas de pb). J'envisageais cette section comme une mise en train "intuitive" (ce que tu appelles "naturel" ) de ce à quoi peuvent servir les Ur-elements indépendamment de toute technicité. On pourrait par exemple développer par l'interprétation ensembliste (genre théorie des patates) du calcul des prédicats sur un ensemble d'objets donnés.

3. Sur les autres modifs : question : pour vous un urelement est un objet du domaine 1. distinct du vide et qui ne possède pas d'ensembles mais possiblement des urelements(ce que je supposais) ou exclusivement 2. un objet du domaine distinct du vide n'ayant aucun élément du domaine (ce que vous Michel421 et Proz laissez à penser vu vos modifs?). J'ai l'impression que la seconde interprétation exclue des théories des ensembles avec urelement et sans axiome de fondation (voire avec axiome d'antifondation), non?

--Epsilon0 ε₀ 13 mars 2008 à 22:32 (CET)

JE ne suis pas sûr de comprendre : les Urelements (on dit quand même plutôt atome en français) sont des objets qui ne sont pas des ensembles, donc en particulier n'ont pas d'éléments. Ca se fait syntaxiquement (2 types d'objets) ou non. Ca ne suppose pas forcément la fondation. Maintenant il y a une astuce pour avoir des atomes dans ZF sans fondation, en prenant des éléments vérifiant x = {x}, voir n'importe quelle édition du livre de Krivine, (ça se comporte comme des éléments primitifs, l'anti-fondation c'est encore autre chose). Pour l'interprétation ensembliste du calcul des prédicats, ça ne me semble pas trop le lieu. Pour l'introduction : ref. historiques, aux livres qui présentent les choses de cette façon ... Proz (d) 14 mars 2008 à 00:14 (CET)

La version d'il y a 3 jours disait qu'un urélément partageait avec l'ensemble vide la particularité de ne "posséder aucun ensemble" diff et que la théorie "ne tranchait pas la question de savoir si un urélément pouvait appartenir à un autre ou non diff. J'ai reverté les 2 affirmations car c'est faux dans KPU et contradictoire dans le cas des atomes-singletons (mentionnés dans les chapitres traitant de l'axiome de fondation dans le livre de Krivine). En ce qui concerne NFU je ne connais pas. En ce qui concerne les "mathématiques appliquées" je sais qu' Harvey Friedman maintient que les uréléments sont inutiles (il est plus économique d'après lui de partir sur une seule sorte d'objet, ex: la définition de Kuratowski plutôt qu'un terme primitif de couple). Au fait, Zermelo est venu avant Wiener et Kuratowski, dans son idée les couples étaient-ils des uréléments ?--Michel421 (d) 14 mars 2008 à 01:24 (CET)

Déjà pour Zermelo la théorie logique sous-jaccente n'est pas définie avec précision, c'est plutôt de la logique du second ordre je crois, mais dit comme ça c'est un anachronisme, les choses ne sont pas encore claires à l'époque sur le statut de la logique et ce qui en fait partie. Je suppose que pour lui la notion de couple fait partie des choses qui préexistent (en tout cas il ne la définit pas). Je ne pense pas que quelqu'un ait appelé ça Urelement (ce serait plutôt une construction primitive). L'ambition de Zermelo n'est pas celle de Frege ou de Russell, il ne cherche pas à "tout" formaliser. Et je ne suis pas sûr qu'il considère avoir une théorie complètement achevée en 1908 (les ordinaux par ex.). Il faudrait aller voir l'article de Zermelo (traduit dans le van Heijenoort il me semble). Pour les mathématiques appliquées : déjà ça dit comme ça en math on pense plutôt analyse numérique, proba, stats. Sinon je suppose que ce que dit Friedman est dans un certain contexte il n'y a pas forcément "une" bonne façon de faire les choses. Proz (d) 14 mars 2008 à 10:09 (CET)

Le contexte c'était une discussion avec Colin McLarty où celui-ci mettait en avant la très grande variété des objets et des structures et leur peu de rapport selon lui avec la théorie des ensembles usuelle. Je n'ai plus l'URL. C'était sur la FOM list, mais assez difficile à retrouver.Michel421 (d) 14 mars 2008 à 19:26 (CET)

• Bon, je ne sais trop ce qu'il y a dans les ouvrages de Krivine (mon exemplaire de 67 est dans un carton l'autre est dans un bibliothèque un peu éloignée de chez moi), mais je vous invite à développer vos pertinents propos à cette lueur dans l'article.
• Concernant une théorie avec anti-fondation, je vois :
  • que dans, The Liar de Barwise et Etchemendy, la présentation des ensembles non bien-fondés, est "a variant of Aczel's theory that allows a collection A of "atoms" ... " (p.39)

Et Devlin dans The joy of sets chap.7 mentionne the liar et nomme explicitement ces atomes "urelements.

• • Maintenant, aucun de ces 2 textes n'est très formel, mais vues les définitions notamment de "tagged graph", il me semble clair que l'unique (dans cette théorie) ensemble-non bien fondé GdOméga = {GdOméga}, repose sur l'introduction du symbole GdOméga comme un urelement.
  • Donc oui, dans ce cadre (et sur cet article nous n'avons pas à trancher une théorie plutôt qu'une autre .... mais plutôt développer l'article au gré de la considération de diverse théories) :
    • un ur-element peut en posséder un autre (et pas forcément lui-même)
    • ""qu'un urélément partageait avec l'ensemble vide la particularité de ne "posséder aucun ensemble" ""
• Théorie avec une ou 2 notions primitives?
  • Sur la théorie "ne tranchait pas la question de savoir si un urélément pouvait appartenir à un autre ou non", j'avoue que je ne sais pas trop. Je crois que là nous abordons la question plus épineuse (qui doit varier selon les théories et qui peut pleinement être développer dans l'article) de savoir si on se donne 1 ou 2 notions primitives et :
    • Ce qu'il en est en théorie (mais vue que la notion d'urelement est marginale en logique ce peut être sur wp du WP:TI )
    • Ce qu'il en est en théories connues (par exemples par vous et développé par Krivine, ou par moi dans les bouquins cités (à relire ;-) )

Bon, je vous avoue ne plus vouloir pour l'instant participer à l'article. Je l'ai initié car il manquait, ai expliqué mon propos initial (et ma bourde), donc n'hésitez pas à l'améliorer (tout casser/réorganiser, développer, etc). Aussi je vois que :

• Maintenant si on tente de creuser plus la question (ou développer finement l'article), que l'on travaille ou non avec l'axiome de fondation, je crois que l'on va se heurter à des pbs très difficiles genre différence  :
  • ur-element/constante d'individu (en restant dans la syntaxe)
  • ur-element = objet syntaxique ou objet sémantique

Je les crois irrésolues (donc pas du domaine de wp, sinon travail original) et crois qu'en un siècle ces questions propres au fondement de la logique sont passées de la recherche philosophique (enfin, celle qui est sérieuse) à celle de l'informatique théorique. Bon perso je suppute une solution genre la sémantique n'est qu'une autre manière d'envisager la syntaxe, mais je ne vais pas vous ennuyer en vous exposant l'état de mes réflexions ;-) ; ce n'est d'ailleurs pas le lieu

Mais si ces questions vous semblent triviales et admettent une réponse standard (et sourçable), ben WP:n'hésitez pas! (je dis cela très sérieusement, vos connaissances intéressent forcément les lecteurs de wp, et moi aussi car j'ai p.e. loupé qqch).

--Epsilon0 ε₀ 17 mars 2008 à 10:34 (CET)

Un urélément au sens de Kripke et au sens de cet article ne peut pas appartenir à un autre sinon cet autre ne serait pas un urélément. Cela coule de source en voyant l'article KPU sur en: où il est dit explicitement que $\forall p\forall x\,(x\notin p)$ la lettre $\quad p$ désignant un urélément et la lettre $\quad x$ n'importe quel objet.

D'ailleurs ça reste vrai pour les atomes de Quine : a = {a} (ici violation de l'axiome de fondation). Car {a} ici n'est pas "un autre" que a ; et a={a}={{{{a}}}} etc... Mais par contre a={a} n'est pas un urélément (au sens de Kripke) puisqu'il a un élément.

L' exemplaire de Krivine ne peut pas être de 1967, c'est 1972 ou 1998. Ou bien tu veux parler d'autre chose (Kreisel et Krivine peut-être).--Michel421 (d) 17 mars 2008 à 23:15 (CET)

Bon

• tu vois que sur "l'article KPU sur en:" il est clair qu'aucun urelement ne peut appartenir à lui-même.
• je vois que dans mes books (j'en ai quand même 100 accessibles ;-)) sur l'antifondation, il est clair qu'un urelement peut en posséder un autre.
• Bah, cher Michel421, il n'y a nulle contradiction là dedans ... et au contraire voilà potentiellement matière à développement de cet article selon les théories envisagées. Donc tout le monde il est beau, tout le monde il est content et wikipédia est ravie de contenir tant d'apport (l'objectif que nous poursuivons).

Donc :

• je t'invite, si tu le souhaites, de développer ton présent propos sur la page d'à côté.
• Eventuellement j'en ferai de même sur les sources que j'ai.
• Ultérieurement nous pourrons voir comment présenter en toute généralité (hors de théories particulières) cette notion concernant le fait qu'elle ait ou non possiblement des éléments, ceci / théories connues envisagées dans l'article/histoire de l'introduction et utilisation de cette notion ... ceci bien sûr sans aller (sauf sources) dans l'investigation plus hardue de la notion que j'ai mentionnée dans mon post précédant.

Voilou, un peu refroidi par les modifs ou suppressions (sans doute positives : néanmoins Michel421, comme te l'a dit Proz ailleurs, commente toujours dans le résumé tes modifs dans les articles, c'est une règle générale sur wp qui facilite le travail de chacun), j'attends des apports nouveaux dans l'article avant d'y re-participer. --Epsilon0 ε₀ 21 mars 2008 à 10:38 (CET)

En fait j'ai bien mis qq chose dans la boîte de résumé (terme correct : élément) mais c'était sans doute un peu rapide et en plus obéissait initialement à une motivation un peu différente ("posséder un ensemble" me faisait penser au rectangle, quadrilatère qui "possède un angle droit dans chaque coin" - Pour le reste il y a peu à développer sur ce qu'est un urélément, une fois qu'on a dit qu'il ne possède aucun élément on a tout dit. Plus intéressant serait d'exposer les conséquences de l'introduction d'uréléments dans ZF, ou NF etc.... mais là on est sur un terrain très glissant, les sources ne sont pas si abondantes. Quant à savoir si c'est plus "naturel" d'introduire des objets non-ensembles, McLarty dit oui, Friedman dit non, et il faudrait des pages pour exposer ces points de vue.--Michel421 (d) 21 mars 2008 à 19:39 (CET)

Retour sur l'orthographe

Zut j'ai gaffé, j'ai mis des accents sans réfléchir, suite à une conversation Bistro où on se plaignait de l'article « élément » et je vois que ça a été réfléchi ici. N'hésitez pas à me réverter surtout j'ai été beaucoup trop amateur ! Mes excuses par avance. (Peut-être prendre dix minutes pour tout passer à « atome » résoudrait le problème non ?) Touriste (d) 14 avril 2009 à 11:52 (CEST)

Ah, le bistro ;-). A moins que quelqu'un ait des sources pour un usage en français avec accent je serais en effet partisant de reverter, mais là il faudrait tes super-pouvoirs d'admin Touriste pour inverser la redirection (je crois). Pour "atome", oui pourquoi pas mais comme il y a bien sûr d'autres atomes, il faudrait une page d'homonymie + trouver le nom idoïne atome (logique), atome (mathématiques), atome (constante), variable de constante syntaxique philo-logico-mathématique ;-) ... bref je démissionne. Ur-element, est utilisé et ... n'est pas ambigu. --Epsilon0 ε₀ 14 avril 2009 à 21:40 (CEST)

Non non pas besoin de super-pouvoirs pour réverter dès lors que la redirection n'a pas été trafiquée entre temps. Mais je me charge bien volontiers de le faire, dans quelques secondes. Touriste (d) 14 avril 2009 à 21:42 (CEST)

Vu, tb. --Epsilon0 ε₀ 14 avril 2009 à 21:47 (CEST)

Attention à "atome" car il y a plusieurs sens : chez Quine un atome est un ensemble élément de lui-même. Et puis "atome (logique)" peut avoir une autre signification (en syntaxe).--Michel421 (d) 17 avril 2009 à 00:35 (CEST)