Discussion:Théorie de Galois inverse

Théorie de Galois inverse

Salut, parmi les 3 problèmes évoqués sur cette page, il me semble que le premier est résolu (et même facile) : pour qu'un groupe quelconque soit groupe de Galois d'au moins une extension algébrique, il faut qu'il soit profini, et c'est une condition suffisante. Non ?Salle 31 janvier 2007 à 20:07 (CET)

Bien tenté, et la réponse est ... Bof de chez Bof. Hélas, je ne connais le contexte de profini que dans le cas abélien. Donc, en fait je ne suis pas grand clerc sur ce sujet. Je te propose le papier introduction à la théorie de Galois inverse en référence à lire depuis la page 28 qui explique bien mieux que mois les choses. Dans le cas abélien pas de problème, et on voit bien pourquoi ta conjecture fonctionne. Dans le cas non abélien, pourquoi une chaîne de groupes profini génère nécessairement une extension galoisienne et pourquoi une extension galoisienne est nécessairement élément d'une chaine de groupes profinis? Jean-Luc W 1 février 2007 à 00:19 (CET)

Je n'avais pas la référence que je connais (Ribes, Zalesskii) sous la main quand j'ai écrit le message. Bon, j'ai vérifié, ce que je dis est vrai. J'ai mis l'idée de la démo. Ca te convient ?Salle 1 février 2007 à 16:10 (CET)

Je ne prétends évidemment pas que ce soit une réponse à la théorie de Galois inverse, qui se situe à corps de base fixé, donc c'est normal que tu restes sur ta faim. Mais cela répond à la question : Soit un groupe quelconque, existe-t-il un corps et une extension galoisienne tel que le groupe de Galois de l'extension soit le groupe? Oui si le groupe est profini (et donc en particulier s'il est fini : groupe sporadique inclus), on peut même le faire avec une caractéristique arbitraire ; non sinon (par exemple, le groupe additif Z, muni de sa topologie discrète, n'est groupe de Galois d'aucune extension algébrique ; peut-on mettre une autre topologie pour le rendre isomorphe à un groupe profini ? je ne sais pas. En particulier, on voit que la théorie n'est pas la même que celle des revêtements - ou celle des équa diff, où on obtient des groupes algébriques puis pro-algébriques ; d'ailleurs, j'ai vu un exposé la semaine dernière sur le groupe de Grothendieck-Teichmüller ; les Grothendieckeries ont pour but de faire une théorie qui marche pour l'arithmétique et la géométrie, comme tu dois le savoir, et pour passer de la géométrie, où Z est groupe de Galois, à l'arithmétique, il y avait à chaque fois une complétion profinie, de Z en \hat{Z}). Pour ta question sur les chaînes de groupes profinis, la catégorie des groupes profinis est stable par extension (si H sous-groupe normal de G tel que H et G/H sont profinis, alors G est profini), donc, elle ne se pose pas vraiment. Ensuite, on peut évidemment vouloir d'autres caractérisation des groupes profinis ; ce sont les groupes compacts (Hausdorff en anglais, et je dois avouer que je ne me suis jamais demandé ce qu'il fallait faire de l'hypothèse de séparation) totalement discontinus.

Je reste complètement sur ma faim. On pourrait dire aussi: Un groupe fini Gest représentation Galoisienne si et seulement si toute présentation dans un groupe de permutation l'est. Prenons un exemple pratique, si G est égal au Groupe Monstre est-il oui ou non un groupe de Galois d'extension de Galois. Qu'en est il des groupes sporadiques? C'est le fait que cette question soit ouverte qui fait que dans la littérature la première question est considérée comme toujours ouverte. Jean-Luc W 3 février 2007 à 09:43 (CET)

(Commentaire inséré 5 ans plus tard) Je ne comprends pas ce que veut dire « Un groupe fini Gest représentation Galoisienne si et seulement si toute présentation dans un groupe de permutation l'est », ni quelle est la question dont c'est un « fait qu'elle soit ouverte », mais pour le Monstre et les sporadiques, je viens de mettre l'info dans l'article. Anne (d) 26 février 2012 à 03:25 (CET)

J'ai (très) rapidement jeté un coup d'œil à la réf que tu m'as donnée, mais je n'ai pas trouvé trace de la question recopiée plus haut. Et, dans la littérature que je connais, ce n'est pas une question ouverte. Voilà, je ne sais pas trop quoi dire de plus pour te convaincre.Salle 3 février 2007 à 11:20 (CET)

Je te propose une réponse en deux temps. Premièrement les sources:

• Aspects élémentaires de Galois inverse par Colas Bardavid page 3 je fais référence au problème 1 et à la conjecture 1. ...On ne peut qu'énoncer la conjecture 1: Tout groupe fini est un groupe de Galois. Par groupe de Galois, Bardavid entend biensur que c'est un groupe de galois d'une extension galoisienne. Sinon, comme tout groupe symétrique est un groupe de Galois, un sous-groupe est bien groupe de Galois de quelque chose (qui n'est en général pas Galoisien).
• La thèse de Cadoret Théorie de Galois inverse page 2 (10 sur Pdf), Le chapitre 5 étudie le problème de Galois inverse régulier pour les groupes profinis G qui sont des extensions algébriques d'un groupe fini G₀ par un groupe pronilpotent de rang fini P.On montre que de tels groupes ne peuvent être des groupes de Galois ... quand k est un corps de nombre.
• L'introduction d'Alain Kraus Introduction à Galois inverse Page 28 en début de page. Soit G un groupe fini. Existe-t-il une extension Galoisienne fini de K telle que le groupe de Galois de K sur Q soit isomorphe à G? Ce problème n'est toujours pas résolu.

Première référence : bon, il dit lui-même qu'il ne connaît pas la théorie de Galois infinie ; ça limite l'argument d'autorité ; au passage, est-ce qu'il ne s'agirait pas de Colas, par hasard ? Au demeurant, tu remarques que sa conjecture est énoncée avec des groupes de Galois sur $\mathbb {Q}$. Quant aux deux autres (eh, eh, le monde est petit, je retrouve des noms connus), ce sont des problèmes Galois inverse à corps de base plus (seulement les rationnels) ou moins (corps des fonctions sur la clôture algébrique d'un corps de nombres ou d'un corps fini de caractéristique bien choisie) fixé : je n'ai jamais nié que tu avais bien posé les questions 2 et 3 (qui sont 1 et 2 dans la version actuelle de l'article).

J'ai l'impression que tu confonds la question Soit un groupe quelconque, existe-t-il un corps k et une extension galoisienne K/k tel que le groupe de Galois de l'extension soit le groupe?, où on peut chercher n'importe quel corps de base k, avec la question Existe-t-il une extension galoisienne K/Q telle que le groupe de Galois soit G ? La première est évidemment plus facile, et je n'ai jamais contesté la légitimité de la deuxième.

Pour la démo que j'ai ébauchée dans l'article, tu la trouveras dans le bouquin de Ribes et Zalesskii, page 74. Je le tradis/recopie. Soit F un corps (commutatif), G un groupe profini ; on note K le corps des fractions rationnelles sur F en un ensemble d'indéterminées indicé par les cosets (je ne me rappelle plus le terme français) gU, où U parcourt les sous-groupes distingués ouverts du groupe G. L'extension K/K^G est alors une extension galoisienne de groupe de Galois G : il faut d'abord définir l'action de G sur K : on laisse F fixe, puis il faut définir l'action sur chaque indéterminée gU ; elle correspond à un coset dans G/U, pour un certain sous-groupe ouvert U, et il y a une action naturelle de tout h\in G par multiplication à gauche qui envoie le coset gU sur le coset (hg)U, ce qui donne l'action sur les indéterminées. Soit ensuite k un élément de K, et notons G_k le sous-groupe de G laissant k stable. k s'écrit en un nombre fini d'indéterminées, et il est facile de vérifier que G_k contient l'intersection des sous-groupes de G correspondant ; intersection d'ouverts, G_k est donc ouvert ; théorie des groupes profinis (et même des groupes topo compacts, je crois), il est d'indice fini dans G. L'orbite de k sous l'action de G est donc fini. On forme le polynôme (séparable) prod(X-k_i), où les k_i sont les points de l'orbite ; en particulier, les k_i sont aussi dans K. Le polynôme a été formé pour être à coefficients dans K^G. Ainsi, k est algébrique et séparable sur K^G, donc l'extension K/K^G est algébrique et séparable. K^G(k₁,...,k_n)/K^G est une extension normale, corps de décompostion du polynôme ci-dessus, incluse dans K ; réciproquement, K/K^G est l'union des corps de décomposition obtenus ainsi, pour k variant. C'est donc une extension normale, soit H le groupe de Galois de K/K^G. G agissant par automorphismes, laissant évidemment K^G fixe, c'est un sous-groupe du groupe de Galois H ; il y a un tout petit point technique sur les groupes profinis, il faut vérifier que l'inclusion est bien continue, puis tu conclues à l'égalité par la correspondance de Galois en observant que le corps fixé par G et par H est le même.

Est-ce que ça va ?Salle 3 février 2007 à 12:45 (CET)

Nous finissons par nous comprendre. Effectivement mon désaccord provient de la confusion que tu cites. mon premier énoncé est un peu optimiste. Cela me va presque. Le cas des extensions sur des corps de nombres (j'entend par là les extensions finies des rationnels) est interessant et devrait, si tu partages mon avis, être cité dans la problématique. A ce détail près, nous sommes tout à fait d'accord. Jean-Luc W 3 février 2007 à 15:53 (CET)

Aucun problème.Salle 3 février 2007 à 16:05 (CET)