Discussion:Théorème intégral de Cauchy

Démonstration à relire

Le 19 novembre 2013, une démonstration a été ajoutée à l'article. J'en ai bien compris le principe : pour prouver que l'intégrale de f sur un chemin &gamma c1 est nul on fait varier continument le chemin pour le faire varier du chemin γ à un point . Si on appelle I(α) l'intégrale sur le chemin γ(α) et si on démontre que la dérivée de la fonction I est nulle, on prouvera que toute les intégrales sont constantes et égale à l'intégrale sur le chemin réduit à un point, c'est-à-dire nul.

Pour démontrer que l'intégrale de f sur un chemin rectifiable est nul on remarque qu'un chemin rectifiable est limite de chemins C1.

Cependant plusieurs points de la démonstration me posent problème sur la forme et sur le fond

• Je n'aurais pas mis de t dans la définition de la famille de lacets

détail !

• J'aurais précisé que le lacet γ était paramétré par une variable t variant de 0 à 1 ce qui explique l'intégrale prise de 0 à 1 (c'est incompréhensible sinon)

Oui, tout a fait. Mais c'est clair si l'on cherche pourquoi G_alpha(1)=G_alpha(0).

• J'aurais explicitement écrit les fonctions dépendant de α et t comme des fonctions à deux variables.
• L'égalité des deux dérivées partielles est encore valable lorsque γ est seulement dérivable sans que sa dérivée ne soit continue.

donc ce n'est pas faux de dire comme l'auteur a dit...

• Ce n'est pas l'égalité des dérivées partielles qui est conditionnée par la dérivabilité de f, c'est leur existence

??

• Je ne comprends pas la phrase " sans avoir à supposer que f'(z) est continue par morceau(x?)" : si la fonction f est holomorphe, sa dérivée est encore une fonction holomorphe non?

oui, tout a fait.

• J'en arrive aux points les plus cruciaux :
  • la simple connexité indique que tout lacet de l'ensemble est homotope à un point mais ne signifie pas que cette homotopie soit une homothétie : il suffit pour s'en convaincre d'imaginer un ensemble en forme de U. Or la transformation utilisée dans la démonstration pour faire passer le lacet à un point consiste à appliquer une homothétie et faire varier le rapport α de 1 à 0. D'où problème grave à mon avis.

c'est vrai mais on a une égalité ! Donc un seul cas suffit pour faire le calcul.

• • le passage de la dérivée d'une intégrale à l'intégrale de la dérivée est escamoté par un « il peut être judicieux d'expliciter la dérivation par rapport à α et les intégrales par rapport à t comme des limites ». Il y a dans mon souvenir des conditions à respecter que j'aurais aimé voir figurer.

oui mais là, on est dans les bons cas...

• • Il en est de même pour le passage à la limite pour l'intégrale sur une chemin rectifiable comme limite d'intégrales sur des chemins C1

oui, c'est bien plus long à écrire. C'est fait dans la référence donnée par l'auteur (classical complex theory)

Je voudrais l'avis d'experts sur mes objections et une correction éventuelle sur la forme et le fond. HB (discuter) 14 décembre 2013 à 15:02 (CET)

Démonstration supprimée car il n'y a pas eu de correction apportée ni sur la forme ni sur le fond. HB (discuter) 29 décembre 2013 à 18:05 (CET)

cela dit je pense que la démonstration était bonne à quelques menus détails près: l'absence de t entre 0 et 1, la confusion entre y(0) et gamma(0) (idem pour y(1) et gamma(1)) et quelques passages supprimés pour raison de longueur (ou à placer dans un autre article).Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 7 février 2014 à 00:55 (CET)

Je ne comprends pas ton objection

« c'est vrai mais on a une égalité ! Donc un seul cas suffit pour faire le calcul. »

quand je signale que le point qui rend fausse la démonstration est l'utilisation d'une famille de lacets qui ne sont pas toujours inclus dans l'ouvert U, donc sur lesquels f risque de ne pas être définie. J'ai supprimé la dem car je vois là un gros gap que ton objection ne me parait pas combler. HB (discuter) 10 février 2014 à 13:51 (CET)

Cette difficulté (que je n'avais pas envisagé à la lecture de ton message) peut être résolue en deux temps: 1/ on commence par établir le résultat pour les ouverts U convexes puis pour tout autre ouvert au prix de la déformation locale de la famille de lacets puisqu'une telle déformation ne modifie pas la valeur de l'intégrale. Nécessairement, il existe une valeur α0>0 du paramètre α qui entraine que le lacet se trouve autour de z0 et dans l'ouvert et cela pour toute valeur du paramètre α < α0. Je dirai personnellement que l'on peut supposer que la famille de lacets soit définie comme indiquée avec la contrainte que le lacet γ(α) soit toujours inclus dans U' inclu dans U (autrement dit, dès qu'un point du lacet pour α touche la frontière de U' en vu d'en sortir, il reste à cette valeur.Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 10 février 2014 à 17:18 (CET)

Oui je comprends bien ton idée mais quelle usine à gaz ! D'autant plus qu'on escamote aussi la vérification des conditions permettant d'inverser intégrale et dérivée. Je ne suis pas sure qu'une telle démonstration dont je comprends le principe sans pouvoir en valider la complète exactitude, représente vraiment un plus pour wikipédia. Le mieux serait un lien vers une démonstration accessible et bien faite. Si tu te décides néanmoins à remettre une démonstration amendée de ces points de détails, je ne pourrais pas te suivre, donc j'aimerais bien que tu en demandes une relecture au projet math. HB (discuter) 10 février 2014 à 17:42 (CET)

Je t'accorde bien volontiers qu'il s'agit d'une usine à gaz. Je pense qu'on devrait prendre une autre démonstration. Ceci dit, l'auteur aurait pu ne faire avec sa démonstration qu'une démonstration partielle "pour donner une idée" en supposant U convexe et le lacet γ C^infini. Je ne tiens pas du tout à cette démonstration. La première démonstration de Cauchy utilisait la formule de Green/Stokes, ce qui est guère mieux ! A ceci près que la démonstration existe dans Théorème de Green dans un cas simplifié ! Pour l'inversion dérivée-intégrale, il suffit d'appliquer un des corollaires du théorème de convergence dominée puisque le lacet γ est de longueur finie (là, j'ai un doute, c'est peut-être une hypothèse à ajouter) et f étant holomorphe sur U y est bornée ainsi que chacune de ses dérivées.Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 10 février 2014 à 21:55 (CET)

Salut, c'est moi qui ai écrit la démonstration que vous avez supprimée. Ça me fait très plaisir de voir qu'elle a été lue et discutée. Par contre je ne comprends pas pourquoi vous supprimez une démonstration qui a le mérite d'exister sans la remplacer par une autre ! Et je trouve que ça arrive assez souvent sur wikipedia. Si vous avez le niveau (et le temps) pour étudier puis juger une démonstration, vous avez aussi le niveau pour étudier plein de cours de profs licence sur le net et piocher votre démonstration préférée !

Le théorème intégral de Cauchy est fondamental dans le développement de l'analyse complexe. La démonstration que j'ai donnée est à mon avis élémentaire et a le mérite de mettre en évidence : le moment précis où on utilise le fait que la fonction est holomorphe (et pas seulement dérivable dans R^2). Elle ne se base pas sur un pavage de la surface (récursivement de plus en plus fin) entourée par le contour, comme dans celle que l'on trouve sur le lemme de Goursat. Enfin elle utilise un lacet C^1 d'un ouvert simplement connexe elle est donc somme toute assez proche de la démonstration finale (comme je l'ai indiqué, pour les lacets bizarres, il suffit de considérer une suite de lacets C^1, et pour les ouverts ayant des formes bizarres, on peut toujours les découper en ouverts union d'ouvert simplement connexes).

Surtout que le problème des ouverts et des lacets ayant des formes bizarres est secondaire dans un premier temps, d'ailleurs (j'ai failli le faire comme ça) on peut très bien se contenter des contours circulaires. On en est au tout début de l'analyse complexe : on a défini la dérivabilité au sens complexe, et on va montrer grâce au théorème intégrale puis à la formule intégrale de Cauchy que holomorphe = analytique.

Bien sûr il y a le point de vue inverse qui consiste à étudier d'abord les fonctions analytiques puis à montrer bien plus tard l'équivalence avec l'holomorphie simple, mais vu les 4-5 cours que j'ai lus sur le net je crois que cette approche est aujourd'hui plus ou moins démodée : les profs définissent l'holomorphie simple puis montrent le théorème intégrale de Cauchy dès le premier cours.

Sinon, c'est peut-être personnel mais je n'aime pas les démonstrations qui se basent sur le remplacement d'intégrale de contour par une intégrale de surface : c'est quand même assez compliqué, surtout quand comme moi on n'est pas physicien on qu'étudie les fonctions analytiques/holomorphes avant d'avoir jamais rencontré le théorème de Green.

Concernant le passage "on n'a pas besoin de considérer la dérivée continue par morceau", je ne l'ai pas détaillé dans ma démonstration mais en explicitant les limites (dérivées et intégrales) on n'a pas besoin de supposer que (sur le contour) la fonction holomorphe est C^1 ou même C^1 par morceau (je rappelle qu'on ne sait pas a priori que la dérivée d'une fonction holomorphe est elle-même holomorphe).

Enfin, je pense qu'il est important de fournir une preuve la plus élémentaire possible (plutôt du théorème intégrale que de la formule intégrale) et directement sur la page comme j'ai essayé de le faire : vu que tous les gens qui étudient l'analyse complexe passent au moins une fois sur ces deux pages il faut leur donner envie de lire et de comprendre une démonstration.

--Acx01b (discuter) 25 mars 2014 à 18:43 (CET)

zut j'avais mal un de tes messages HB, et en plus je me suis mal exprimé dans mon message. Tu dis supprimer la démonstration car elle a une lacune : on n'a pas le cas de l'ouvert simplement connexe en forme de U. Tu as raison, mais dans un premier temps il n'y a pas de problème à considérer uniquement les ouverts CONVEXES, et l'ouvert simplement connexe qui contint le lacet on peut toujours le découper en union d'ouverts CONVEXES (je confonds souvent simplement connexe et convexe). Je n'ai pas spécialement d'argument pour justifier ça : c'est une peu une évidence qu'un U c'est l'union d'une barre convexe, de petits cercles convexes, puis d'une autre barre convexe. D'ailleurs dans mon cours (en pdf) de référence sur les fonctions holomorphes << Fonctions holomorphes - Frédéric Hélein >> il commence son cours par montrer que tout ouvert peut être vu comme une union d'un ensemble (dénombrable?) d'ouverts convexes.

--Acx01b (discuter) 25 mars 2014 à 18:54 (CET)

Salut, je ne vais pas pouvoir te répondre sur le fond. En effet, il est plus simple de trouver une faille dans un raisonnement que d'en créer un sans faille (ce qui explique que l'on puisse trouver plusieurs lecteurs pour lire les papiers de ceux qui ont fait des grandes avancées en mathématiques). Pour en revenir à la faille de ton raisonnement, tu pourrais effectivment chercher à la combler en rajoutant une verrue, traiter le cas convexe et ensuite trouver comment passer du cas convexe au cas simplement connexe (personnellement je ne vois pas comment le faire simplement: travailler sur une union de convexes sans conditions supplémentaires ne mènera à rien car un anneau carré est une union de convexes mais n'est pas simplement connexe - Claude, un peu plus haut, a déjà donné une piste mais est d'accord pour trouver que c'est une usine à gaz). C'est une activité intellectuelle probablement intéressante mais sur WP cela s'appelle un TI. Et si tu compliques suffisamment les choses je ne serai pas capable de relire ta dem et dans l'incapacité de la valider. Le mieux pour wikipédia serait de trouver une source accessible où une démonstration simple du théorème serait faite et de renvoyer le lecteur vers cette source. HB (discuter) 25 mars 2014 à 19:33 (CET)

Bon, je ne suis pas du tout d'accord avec ta démarche. Si ce point te parait intéressant, c'est à toi de le développer. Mais bon voila quand même ma proposition de démo plus générale.

On accepte l'existence d'une déformation continue du lacet qui se réduit à un point

Soit $\gamma (t),t\in [0;1]$ un lacet $C^{1}$ (y compris à ces extrémités donc $\gamma '(0)=\gamma '(1)$). On appelle $U$ la surface délimitée par $\gamma$.

Proposition :

Il existe une déformation $C^{1}$ du lacet qui reste incluse dans $U$ et qui se réduit à un point. Formellement :

$\exists \gamma _{\alpha }(t),\quad \alpha \in [0;1],t\in [0;1]$

$\forall t,\quad \gamma _{0}(t)=\gamma (t),\gamma _{1}(t)=\gamma _{1}(0)=z_{0}$

$\forall t,\alpha ,\quad \gamma _{\alpha }(t)\in U,\quad {\frac {\partial ^{2}\gamma _{\alpha }}{\partial \alpha \partial t}}$ continue partout même en $t=0,t=1$ i.e ${\frac {\partial ^{2}\gamma _{\alpha }}{\partial \alpha \partial t}}(t=0)={\frac {\partial ^{2}\gamma _{\alpha }}{\partial \alpha \partial t}}(t=1)$

Note : Dans les cas simples, notamment si $U$ est une surface convexe (par exemple : un disque, un rectangle, un triangle) alors on peut choisir $\gamma _{\alpha }(t)=z_{0}+(1-\alpha )(\gamma (t)-z_{0})$

Même démo qu'avant utilisant cette déformation du lacet

Soit $\gamma _{\alpha }(t)$ une telle déformation de lacet. Soit $f(z)\in {\mathcal {H}}(U)$.

$I_{\alpha }=\int _{\gamma _{\alpha }}f(z)dz=\int _{0}^{1}g_{\alpha }(t)dt$ avec $g_{\alpha }(t)=f(\gamma _{\alpha }(t))\gamma _{\alpha }'(t)$

En posant $G_{\alpha }(t)=f(\gamma _{\alpha }(t)){\frac {\partial \gamma _{\alpha }}{\partial \alpha }}(t)$ on a :

${\frac {\partial g_{\alpha }}{\partial \alpha }}={\frac {\partial G_{\alpha }}{\partial t}}=f'(\gamma _{\alpha }(t))\gamma _{\alpha }'(t){\frac {\partial \gamma _{\alpha }}{\partial \alpha }}(t)+f(\gamma _{\alpha }(t)){\frac {\partial \gamma '_{\alpha }}{\partial \alpha }}(t)$

(remarque : cette relation ne serait pas valable si $f(z)$ n'était pas holomorphe )

Ensuite :

${\frac {\partial I_{\alpha }}{\partial \alpha }}=\int _{0}^{1}{\frac {\partial g_{\alpha }}{\partial \alpha }}dt=\int _{0}^{1}{\frac {\partial G_{\alpha }}{\partial t}}dt=G_{\alpha }(1)-G_{\alpha }(0)$

$=f(\gamma _{\alpha }(1)){\frac {\partial \gamma _{\alpha }}{\partial \alpha }}(1)-f(\gamma _{\alpha }(0)){\frac {\partial \gamma _{\alpha }}{\partial \alpha }}(0)=0$

puisque $\gamma _{\alpha }(1)=\gamma _{\alpha }(0)$ et ${\frac {\partial \gamma _{\alpha }}{\partial \alpha }}(1)={\frac {\partial \gamma _{\alpha }}{\partial \alpha }}(0)$ ,

En $\alpha =1$ on a $\gamma _{1}(t)=z_{0}$ donc $\gamma _{1}'(t)=0$ si bien que $I_{1}=\int _{0}^{1}f(\gamma _{1}(t))\gamma _{1}'(t)dt=0$

Et finalement : $\int _{\gamma }f(z)dz=I_{0}=I_{1}=0$

On conclut en invoquant le fait que tout lacet rectifiable sur $U$ est limite uniforme d'une suite de lacets $C^{1}$ sur $U$. On peut de la même manière étendre le théorème à certaines surfaces de taille infinie comme par exemple une bande verticale du plan complexe.

--Acx01b (discuter) 29 mars 2014 à 09:16 (CET)

Il reste un point délicat. Si on a simplement défini la dérivabilité au sens complexe, alors on ne sait pas encore que holomorphe est équivalent à analytique ni que la dérivée d'une fonction holomorphe est elle-même holomorphe ou même continue ou encore continue par morceau. Cela pose donc un problème quand on écrit

$\int _{0}^{1}{\frac {\partial G_{\alpha }}{\partial t}}dt=\int _{0}^{1}f'(\gamma _{\alpha }(t))\gamma _{\alpha }'(t){\frac {\partial \gamma _{\alpha }}{\partial \alpha }}dt+\cdots$

Puisqu'il n'est pas dit que l'intégrale au sens de Riemann de $f'(\cdots )\cdots$ ait un sens.

On contourne le problème en explicitant les limites. Par définition de la dérivabilité :

$f(z+\epsilon )=f(z)+\epsilon f'(z)+o(\epsilon )$

$g_{\alpha +\epsilon }(t)=g_{\alpha }(t)+\epsilon {\frac {\partial g_{\alpha }}{\partial \alpha }}+o(\epsilon )$

Ceci est vrai uniformément par rapport à t ou alpha puisque le module des dérivées est fini et a donc un maximum sur $U$ (ici on travaille sur un U fini, par exemple un petit disque, le but est simplement de montrer au final que holomorphe <=> analytique).

Par définition de l'intégrale : $I_{\alpha }=\int _{0}^{1}g_{\alpha }(t)dt=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}g_{\alpha }(n/N)$

On note $I_{\alpha ,N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N}g_{\alpha }(n/N)$

$I_{\alpha +\epsilon ,N}-I_{\alpha ,N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}g_{\alpha +\epsilon }(n/N)-g_{\alpha }(n/N)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}\left(\epsilon {\frac {\partial g_{\alpha }}{\partial \alpha }}(n/N)+o(\epsilon )\right)=o(\epsilon )+\epsilon {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {G_{\alpha }}{\partial t}}(n/N)$

en écrivant ${\frac {G_{\alpha }}{\partial t}}(n/N)={\frac {G_{\alpha }((n+1)/N)-G_{\alpha }(n/N)}{1/N}}+o(1)$

on a finalement

${\frac {I_{\alpha +\epsilon ,N}-I_{\alpha ,N}}{\epsilon }}=o(1)+{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {G_{\alpha }}{\partial t}}(n/N)=o(1)+\sum _{n=0}^{N-1}G_{\alpha }((n+1)/N)-G_{\alpha }(n/N)=o(1)+G_{\alpha }(1)-G_{\alpha }(0)$

et donc

${\frac {\partial I_{\alpha }}{\partial \alpha }}=\lim _{N\to \infty ,\epsilon \to 0}{\frac {I_{\alpha +\epsilon ,N}-I_{\alpha ,N}}{\epsilon }}=G_{\alpha }(1)-G_{\alpha }(0)$

--Acx01b (discuter) 29 mars 2014 à 11:48 (CET)

déformation continue d'un lacet qui converge vers un point : un élastique

On peut imaginer un problème physique qui permet de prouver l'existence d'une telle déformation continue d'un lacet. Soit un élastique fermé, dans le plan 2D (le plan complexe) qui tend à se contracter en un point. L'élastique est $B(x,t)$ où t est le temps, x est le paramétrage de l'élastique. Son équation de mouvement est

${\frac {\partial B^{2}}{\partial t^{2}}}+\alpha {\frac {\partial B}{\partial t}}-c^{2}{\frac {\partial B^{2}}{\partial x^{2}}}=0$

On montre facilement que si l'élastique est libre et $\alpha >0$ alors quelque soit son état de départ, l'élastique converge toujours vers un point. Ensuite on considère un élastique contraint de se mouvoir dans U un ouvert connexe du plan. On suppose que les bords de U absorbent complètement l'inertie de l'élastique : celui-ci ne rebondit pas sur les bords. Par des critères énergétiques on montre qu'au moment des collisions l'élastique ne gagne ni énergie potentielle ni énergie cinétique, ainsi son énergie totale ne fait que diminuer comme dans le cas libre et il finit par converger en un point de U.

Démonstration corrigée

Alors, vous avez regardé ce que j'ai ajouté ? Le calcul reste le même, j'ai simplement considéré une déformation C1 d'un lacet C1 qui se réduit au final à un point. L'intégrale sur le point étant nulle, et l'intégrale ne variant pas rapport à alpha le paramètre de déformation du lacet, on a le résultat.

En considérant une suite de lacets C1 qui converge uniformément vers un lacet rectifiable, on a le résultat pour tout lacet rectifiable.

On a également le résultat pour des ouverts de surface infinie comme une bande verticale du plan.

Concernant le cas où en un nombre fini de points la fonction holomorphe est simplement supposée continue mais pas dérivable, il suffit de considérer un bout de lacet aller/retour par le même chemin et qui contourne un de ces points par un cercle de rayon epsilon pour justifier que l'intégrale est la même que le lacet contourne le point ou non. La conséquence est qu'une fonction holomorphe ne peut avoir un nombre fini de points où elle est continue mais non dérivable, sa dérivée étant en fait très bien définie en ces points.

Il reste comme je l'ai rédigé le cas où l'on suppose la fonction holomorphe mais où l'on ne suppose rien sur la continuité/dérivabilité de sa dérivée. Il faut alors expliciter toutes les limites et majorer les epsilon uniformément sur tout l'ouvert contenant le lacet, il faut donc travailler sur un lacet de longueur finie. Ce calcul avec les epsilon serait (si vous acceptez ma démo) dans une boite que l'on peut fermer/ouvrir pour ne pas polluer les 10 lignes de calcul de la démonstration.

Concernant l'existence d'une déformation C1 du lacet, qui reste dans l'ouvert, et qui se réduit à un point, je pense qu'il est inutile de la détailler, on l'accepte c'est tout.

Vous en pensez-quoi ?

--Acx01b (discuter) 8 avril 2014 à 19:36 (CEST)

Excuse moi, je ne t'avais rien répondu car n'avais rien de neuf à ajouter à ce que j'avais dit précédemment : Et si tu compliques suffisamment les choses je ne serai pas capable de relire ta dem et dans l'incapacité de la valider. . Ta démonstration est maintenant plus compliquée, est-elle maintenant plus juste? Je ne peux pas l'assurer. Je remarque seulement un premier point qui me chiffonne : la simple connexité assure la déformation continue de tout lacet en un point, et toi tu utilises une déformation C1 (déformation de dérivée continue). Détail diront certains, mais le diable se niche souvent dans les détails....
Je répète donc ce que j'ai dit : quand la démonstration aura atteint une niveau de complexité supérieure à mes compétences, en quoi une validation de ma part sera-t-elle une garantie d'exactitude de celle-ci? Quelle est de plus la valeur ajoutée à l'article par une démonstration tellement difficile qu'il faut au rédacteur plusieurs essais pour la rendre rigoureuse ? La meilleur valeur ajoutée consisterait à trouver une version déjà publiée (pas de TI), accessible sur le net, et relativement simple de cette démonstration. Cela ne t'empêche pas de chercher pour toi une démonstration personnelle mais je ne pense pas que la page de discussion de cet article soit le lieu pour la faire valider (et par qui d'ailleurs?). HB (discuter) 9 avril 2014 à 07:57 (CEST)