Utilisateur:Acx01b

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les corps finis[modifier | modifier le code]


Le corps fini avec premier est un corps commutatif cyclique.

divise

Soit le polynôme de

Supposons qu'il existe un corps tel que avec

soit l'ensemble des racines de

alors et est un groupe commutatif

en effet est racine de et

de plus ce groupe est cyclique : (pourquoi ?)

le problème est donc de savoir si est un groupe et donc si est un corps et donc .

puisque

On va créer de toute pièce un corps fini commutatif à q=p^d éléments, où p est un nombre premier. On note ce corpsK_q.

D'abord on fabrique le groupe multiplicatif  : c'est un groupe cyclique à q-1 éléments. Il a donc un générateur g, et les éléments sont


La multiplication est donc définie comme ceci :

Ensuite, on fabrique le groupe additif :

L'addition est donc définie par une table d'addition à entrées.

Mais pour que la multiplication soit distributive sur l'addition, il faut que :

ou encore :

ainsi, il suffit de connaitre le résultat de

soit q-1 valeurs pour connaitre toute la table d'addition.

Quelle est la structure du groupe additif ? L'approche polynomiale nous dit que c'est un groupe commutatif produit de groupes cycliques à éléments.

puisque


de la même manière,