Discussion:Théorème des fonctions implicites

Est-ce que ce n'est pas un peu radical de dire qu'aux points (1,0) et (-1,0) le cercle ne peut pas s'écrire comme un graphe alors qu'on peut l'écrire x=φ(y)?

Même si je suis pas super calé sur le sujet, mais pour tout voisinage de (1,0) du cercle (la partie fermée {(1,0)} n'est pas un voisinage de (1,0)), on ne peut avoir un graphe qui donne le cercle, parce qu'alors on aurait alors deux valeurs sur le cercle pour (1-e,0) pour e proche de 0, ce n'est donc pas une fonction. Valvino ^(discuter) 8 octobre 2008 à 21:42 (CEST)

Pour être précis, on ne peut pas invoquer le théorème des fonctions implicites pour montrer que les points (1,0) et (-1,0) du cercle de l'article s'écrivent comme des éléments du graphe du fonction φ(x). Ce qui j'espère est maintenant indiqué précisément. Jean-Luc W (d) 1 mars 2009 à 14:30 (CET)

manque d'information sur $\varphi$ dans le premier paragraphe introductif

Bonjour, il me semble qu'il faudrait préciser au premier paragraphe que $\varphi$ est une fonction de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ et au moins aussi régulière que $f$. Anderstood (d) 10 octobre 2011 à 10:47 (CEST) Personne n'ayant répondu j'ai modifié l'article pour ajouté ce complément dans l'introduction.Anderstood (d) 24 octobre 2011 à 00:38 (CEST)

Démonstration : formule dénuée de sens

Dans la preuve du théorème des fonctions implicites, partie "existence de $\varphi$", il y a une incohérence. En effet, $\varphi _{1}$ est à valeurs dans $E\times F$, ce qui ne convient pas pour la fonction implicite, qui devrait appartenir à $F$. Au demeurant, je ne comprends pas la définition de $\varphi _{1}$.

Suggestion: définir $\varphi _{1}$ par l'égalité, qui a un sens pour $x$ assez proche de $x_{0}$: $(x,\varphi _{1}(x))=\psi _{1}^{-1}(x,0)$ (ou, ce qui revient au même, la projection sur $F$ de $\psi _{1}^{-1}(x,0)$).

En effet, on a alors, pour $(x,y)$ proche de $(x_{0},y_{0})$: $y=\varphi _{1}(x)$ SSI $\psi _{1}(x,y)=(x,0)$ SSI $(x,f(x,y))=(x,0)$ SSI $f(x,y)=0$.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par JerGer (discuter), le 28 décembre 2012 à 17:01‎.

Merci pour le signalement, erreur rectifiée, sans suivre à la lettre ta suggestion mais plutôt l'intention supposée de l'auteur, qui voulait apparement construire d'abord un φ₁ comme 2^e composante de l'inverse de son ψ₁, puis définir la fonction implicite (son φ, qui est ton φ₁). Anne (d) 28 décembre 2012 à 19:47 (CET)

D'accord (sans doute) mais alors, c'est $\varphi _{1}$ qui se met à avoir deux sens différents dans les deux parties de la preuve : c'est un truc intermédiaire pour la définition de $\varphi$ dans la preuve d'existence, c'est une fonction $\varphi$ parmi deux possibles dans la preuve d'unicité. JerGer (d) 28 décembre 2012 à 22:17 (CET)