Discussion:Sous-groupe

La notion de sous-groupe est si générale

que la plupart des résultats de la théorie des groupes y font appel. Pour ne pas saturer l'article sous-groupe avec ces différents résultats, il serait souhaitable de déplacer certains paragraphes vers d'autres articles plus spécifiques. C'est ce que je viens de faire pour le paragraphe "lien avec les homomorphismes de groupe".

Le paragraphe sur le théorème de Lagrange pose le même problème. Yukito 8 mar 2005 à 17:33 (CET)

Le paragraphe "Partition d'un groupe modulo un sous-groupe" a été déplacé vers l'article groupe quotient. Le paragraphe sur le "théorème de Lagrange" a été réduit au strict minimum, le reste du contenu a été déplacé soit vers l'article groupe quotient, soit vers l'article théorème de Lagrange Yukito 8 mar 2005 à 21:42 (CET)

ordre d'un élément

Le paragraphe sur l'ordre d'un élément a été déplacé dans l'article Génération d'un groupe.

Yukito 25 mar 2005 à 12:41 (CET)

Caractérisation

J'ai supprimé la condition $(1)\;e\in H$ puisqu'elle découle naturellement de la condition (2). Effectivement, si on applique (2) à (x, x), on a $\;(x,x)\in H^{2},x*x^{-1}=e\in H$.

Jreeman 31 mai 2006 à 00:50 (CET)

tu as raison si H est non vide Peps 31 mai 2006 à 07:52 (CEST)

H est toujours non vide (il contient au moins e).

Non ! si H est vide il est vrai que $\;\forall (x,y)\in H^{2},x*y^{-1}\in H$ : c'est le problème des implications dont le premier membre n'est jamais réalisé, elles sont vraies. Peps 1 octobre 2006 à 17:04 (CEST)

Sous groupe propre

Une définition de sous-groupe propre vient d'être rajoutée disant qu'un sous groupe propre est différent du groupe null et du groupe entier. De mémoire cette définition ne m'a jamais été présentée. Par contre j'ai eu affaire à :

• Sous-groupe non trivial : différents du nul et du groupe entier.
• Sous-groupe propre : différent du groupe entier.

Bien sûr cela n'est qu'un problème de définition et pas de fond. Noky (d) 31 octobre 2008 à 22:07 (CET)

La définition que j'ai reçue cette année donnait bien que tout sous-groupe différent des sous groupes triviaux ( nul={e} et le groupe entier ) est appelé sous-groupe propre.
On pourra notamment le vérifier ici -> http://www.refer.ne/musatesa/site_licence/cours/node7.html
Mais comme tu l'a dis ce n'est qu'un problème de définition, aucun point théorique n'est remis en question ;-)
Sugars (d) 5 novembre 2008 à 03:25 (CET)

Il serait peut-être bon de donner des références à des livres dans le commerce (et non des syllabus) pour ces points de terminologie. Pour ma part, il ne me semble avoir rencontré que ces deux définitions :

1° sous-groupe propre de G : sous-groupe de G distinct de G (et donc le seul sous-groupe impropre de G est G)

2° sous-groupe trivial : le sous-groupe réduit à l'élément neutre. (Et plus généralement, groupe trivial : groupe réduit à l'élément neutre.) Donc, si G n'est pas réduit à l'élément neutre, G n'est pas sous-groupe trivial de lui-même.

Marvoir (d) 28 juin 2010 à 19:57 (CEST)

"Eléments de théorie des groupes, Josette Calais, aux PUF, éd. 1998" dit comme Marvoir : propre est distinct de G. Trivial se réduit à e. --Laurent Bauer (d) 1 janvier 2011 à 17:35 (CET)

J'ai toujours vu exactement comme Marvoir. Je m'apprêtais à sourcer fastoche ... sapristi ! mon Godement se passe de ces 2 mots, et mon Reversat/Bigonnet (Algèbre pour la licence, cours et exercices corrigés, Masson, 1998) ne parle pas de propre, mais dit texto :

« G et {e} sont deux de ses sous-groupes. On les appelle les sous-groupes triviaux. »

Lang dit comme Marvoir et moi pour propre et pour trivial, mais méfions-nous des anglophones, qui n'ont peut-être pas les mêmes conventions, et qui peuvent avoir déteint sur certains universitaires francophones. Anne Bauval (d) 28 juin 2010 à 20:35 (CEST)

Je peux ajouter deux livres anglophones relativement récents. J. J. Rotman,An Introduction to the Theory of Groups (4^e éd., tirage de 1999, p. 22 : « Any subgroup H other than G is called proper, and we denote this by H < G; the subgroup 1 is often called the trivial subgroup. » Puis H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups. An Introduction, 2004, p. 4 : « If, in addition, U ≠ G, then U is a proper subgroup of G, and we write U < G. Every group possesses the trivial subgroup U = {1}. » On dirait donc que, comme noté par Anne Bauval, les définitions auxquelles elle et moi sommes accoutumés sont courantes chez les auteurs anglo-saxons. Le malheur, c'est qu'il n'y a pas beaucoup de livres de théorie des groupes en français... Bourbaki, Algèbre, chap. 1, ne définit ni un sous-groupe trivial ni un sous-groupe propre. J. Calais, Éléments de théorie des groupes, 1984, p. 30, définit un sous-groupe propre de G comme un sous-groupe de G distinct de G. Elle ne définit pas un sous-groupe trivial. Jean Delcourt, Théorie des groupes (1^e édition, en tout cas) ne définit ni l'un ni l'autre. Je ne peux rien dire de Jean Fresnel, Groupes, 2001, car je ne l'ai plus.

Marvoir (d) 29 juin 2010 à 19:14 (CEST)

Pour sous-groupe trivial (qui pourtant devrait être clair via groupe trivial) la littérature n'est même pas unanime (cf mon mon Reversat/Bigonnet cité plus haut). Pour sous-groupe propre, la définition anglosaxonne est facile à sourcer, même par des bouquins en français ; la définition françaisecophone est peut-être minoritaire mais pas négligeable : sous Googlelivres en recherche avancée parmi les livres contenant l'expression "sous-groupe propre" j'ai trouvé (sauf erreur d'interprétation) : Chevalley, Guinin-Joppin, Mercier, Queysanne. Avec Chevalley et Queysanne en main je me suis arrêtée (et pas cherché "sous-groupeS propreS"). Anne (pour les amis), 29 juin 2010 à 22:15 (CEST)

Sous groupe de (Z,+)

Dans la démonstration, il est dit : "Réciproquement, soit n le PGCD de G. G est alors inclus dans nZ. D'après le théorème de Bézout n appartient à G et donc nZ est inclus dans G. Donc G=nZ."

On considère donc le pgcd d'une famille potentiellement infinie (le seul cas où elle est finie est G={0}) d'entiers relatifs. Ce qui signifie, si je ne me trompe pas, que

$\forall F\subset \mathbb {Z} ,\exists !d\in \mathbb {N} |$

• $\forall a\in F,d|a$

• $\forall \delta \in \mathbb {Z} ,(\forall a\in F,\delta |a)\Rightarrow \delta |d$

C'est pas évident à montrer, il faut manipuler des sortes de 'somme infinies'... Soit. G est alors inclus dans nZ. On utilise après le théorème de Bézout pour montrer que n appartient à G. Le lien ne pointe pas vers le théorème de Bachet-Bézout, mais vers le théorème de Bézout. Alors soit on utilise effectivement le théorème de Bézout en géométrie algébrique, et je pense qu'une explication ne serait pas de trop dans l'article. Ou alors on utilise le théorème de Bachet-Bézou, et on dit qu'il existe une combinaison linéaire (à coefficient dans Z) potentiellement infinie égale à n ? On peut généraliser l'identité de Bézout pour une famille infinie ?

--Zandr4 (d) 16 avril 2009 à 22:54 (CEST)

Changé la preuve. Salle (d) 17 avril 2009 à 11:49 (CEST)

Ok, lapidaire mais plus clair :) --Zandr4 (d) 17 avril 2009 à 12:30 (CEST).

Liens avec les homomorphismes

Cantor-Bernstein est-il vrai pour les groupes abéliens ? Anne (d) 12 avril 2013 à 21:39 (CEST)

Je vais peut-êre dire une bêtise, parce que j'improvise. J'ai l'impression que la réponse est non, autrement dit que deux groupes abéliens peuvent s'injecter l'un dans l'autre sans être isomorphes. Prenons pour groupe G la somme directe de Z/2Z, de Z/4Z, de Z/8Z etc. Prenons pour H la somme directe de Z/4Z, de Z/8Z etc. Alors G s'injecte dans H parce que le premier facteur de G s'injecte dans le premier facteur de H, le second facteur de G s'injecte dans le second facteur de H etc. D'autre part, H s'injecte dans G parce que H est isomorphe à un facteur direct de G. Enfin, il me semble que G et H ne sont pas isomorphes parce que G a un facteur direct d'ordre 2 et que, si je ne me trompe, H n'en a pas. Si H avait un facteur direct d'ordre 2, soit K, il existerait un homomorphisme f de H sur K qui coïnciderait avec l'identité sur K. Soit a l'élément non nul de K. Puisque a est d'ordre 2, chaque composante de a est le double d'un élément dans le groupe facteur (ceci compte tenu de la nature des facteurs de H), donc a = 2b pour un certain élément b de H, d'où f(a) = 2 f(b). Puisque f prend ses valeurs dans K, on a f(b) = na pour un certain entier n (et d'ailleurs, n peut être pris égal à 1 ou à 0), d'où f(a) = 2na = 0. Comme f coïncide avec l'identité sur K, on aurait donc a = 0, contradiction. Voilà, j'espère que je n'ai pas dit de bêtises. Marvoir (d) 13 avril 2013 à 13:00 (CEST)

Ok, merci (et pour résumer ton argument : G et H ne sont pas isomorphes parce que dans H, ker(2) ⊂ im(2) alors que pas dans G). Anne (d) 13 avril 2013 à 13:17 (CEST)

En effet, c'est mieux ainsi. Tu seras peut-être intéressée par cet exercice de Rotman (4e éd., tirage de 1999, exerc. 10.26, p. 324) : "If G and H are divisible groups each of which is isomorphic to a subgroup of the other, then G ≅ H. Is it true if we drop the adjective 'divisible' ?" (Noter que, dans ce chapitre, Rotman dit "group" pour "abelian group".) Au cas où tu en aurais un jour besoin, j'ai une solution de cet exercice dans mes notes. Marvoir (d) 13 avril 2013 à 14:05 (CEST)

Subquotient

It should be easy to add a section defining the notion of a en:subquotient of a group. It is required for the article Groupe sporadique. Nomen4Omen (discuter) 1 mars 2023 à 15:32 (CET)