Discussion:Lemme d'Euclide

Deux articles Lemme d'Euclide et Théorème de Gauss étaient redondants. J'ai donc fusionné les deux. Jean-Luc W 28 novembre 2005 à 16:14 (CET)

Pourquoi Théorème de Gauß ?

Il faudrait dire ce que Gauss a avoir dedans. Appeler théorème de Gauß un résultat aussi élémentaire m'étonne.Pierre de Lyon 25 novembre 2006 à 14:47 (CET)

C'est une appellation courante. Comme dit le dicton : un résultat mathématique ne porte jamais le nom de celui qui l'a étébli/énoncé. Voir ici, par exemple, où ce résultat est effectivememnt appelé ainsi.Salle 25 novembre 2006 à 15:08 (CET)

Oui, mais nous sommes en train d'écrire une encyclopédie!! Nous devons donner des clés de réponse. N'est-ce pas diminuer le grand Gauss que de lui attribuer comme théorème, un résultat aussi élémentaire? Je note que la référence que tu donnes l'appelle lemme de Gauss. Pierre de Lyon

Ah oui, moi aussi, je dis lemme de Gauss. Je distingue deux choses. D'une part, il y a un travail encyclopédique à faire pour trouver l'origine de chaque résultat. Ce doit être Euclide (et encore, ce serait l'origine en tant que première version écrite qui nous soit restée, de là à dire qu'Euclide a été le premier à énoncer), ensuite, on va se poser les questions suivantes : pourquoi lui donne-t-on le nom de Gauss ? Se pourrait-il qu'il ait été oublié puis retrouvé ? Probablement pas, vu que c'est élémentaire : je ne vois pas Fermat travailler sans ça. Ou alors, peut-être que Gauss a été le premier à l'énoncer sous une forme moderne ? Ou l'a adapté à un cas plus général (les anneaux?)? Ou bien tout bêtement, un auteur de manuel scolaire a décidé d'appeler ça lemme de Gauss, parce que le seul livre d'arithmétique qu'il avait jamais lu étaient les Disquisiones Arithmeticae.

En tout cas, c'est une tâche énorme. En plus, on peut imaginer que personne ne l'a jamais faite, et dans ce cas, on nous dira même que ça n'a pas sa place ici (travail inédit) :).

D'autre part, je crois que ne pas faire ce travail ne nous empêche pas de signaler que ce résultat est souvent désigné comme lemme de Gauss : c'est pratique de donner un nom aux théorèmes.Salle 25 novembre 2006 à 15:26 (CET)

Je n'ai pas trouvé trace du nom "lemme de Gauss" pour le premier énoncé (la référence donnée par Salle plus haut distingue bien entre les deux comme j'ai fait), donc j'ai adopté une formulation un peu vague, ce serait bien de donner un référence pour la confusion des deux noms si quelqu'un la connaît. J'ai aussi essayé d'expliquer le rapport des deux énoncés dans les Disquisitiones. --Cgolds 7 novembre 2007 à 02:02 (CET)

Historique de Théorème de Gauss (théorie des nombres) (d · h · j · ↵) avant fusion

Fusion effectuée à l'instant--Bapti ✉ 7 novembre 2007 à 20:16 (CET)

• 28 novembre 2005 à 16:17 Jean-Luc W (Discuter | Contributions | Bloquer) (J'ai fusionné cet article avec le lemme d'Euclide)
• 28 novembre 2005 à 16:15 Jean-Luc W (Discuter | Contributions | Bloquer)
• 11 novembre 2005 à 04:35 BenduKiwi (Discuter | Contributions | Bloquer) m (+ homonymie)
• 11 novembre 2005 à 04:18 BenduKiwi (Discuter | Contributions | Bloquer) m (+ lien Lemme de Gauss)
• 6 novembre 2005 à 05:16 Charles Dyon (Discuter | Contributions | Bloquer) (Transfert dans une catégorie plus précise)
• 6 novembre 2005 à 04:50 Charles Dyon (Discuter | Contributions | Bloquer) (Transfert du théorème de Gauss de l'électromagnétisme dans un article spécifique)
• 6 novembre 2005 à 04:38 Charles Dyon (Discuter | Contributions | Bloquer) m (a déplacé Théorème de Gauss vers Théorème de Gauss (théorie des nombres))
• 3 novembre 2005 à 04:46 Nicobn (Discuter | Contributions | Bloquer) m (pgcd = plus grand commun diviseur)
• 3 novembre 2005 à 04:39 Charles Dyon (Discuter | Contributions | Bloquer) (Transfert dans une catégorie plus précise)
• 11 septembre 2005 à 12:11 MedBot (Discuter | Contributions | Bloquer) m (Bot : Remplacement de texte automatisé (-<br> +<br />))
• 10 juin 2005 à 15:31 Killou (Discuter | Contributions | Bloquer) (→Mathématiques)
• 8 février 2005 à 04:11 Yukito (Discuter | Contributions | Bloquer) (→Démonstration - changement de lien)
• 3 janvier 2005 à 13:51 Vargenau (Discuter | Contributions | Bloquer) (Électromagnétisme) (défaire)
• 3 janvier 2005 à 11:55 Vargenau (Discuter | Contributions | Bloquer) m (Mise en page) (défaire)
• 5 décembre 2004 à 17:14 Unicyclon (Discuter | Contributions | Bloquer) (défaire)
• 5 décembre 2004 à 17:13 Unicyclon (Discuter | Contributions | Bloquer) (défaire)
• 5 décembre 2004 à 17:10 Unicyclon (Discuter | Contributions | Bloquer) (défaire)
• 5 décembre 2004 à 17:07 Unicyclon (Discuter | Contributions | Bloquer) (→Démonstration) (défaire)
• 5 décembre 2004 à 17:06 Unicyclon (Discuter | Contributions | Bloquer) (→Démonstration) (défaire)
• 5 décembre 2004 à 17:05 Unicyclon (Discuter | Contributions | Bloquer) (→Démonstration) (défaire)
• 5 décembre 2004 à 17:04 Unicyclon (Discuter | Contributions | Bloquer) (→Démonstration) (défaire)
• 5 décembre 2004 à 17:03 Unicyclon (Discuter | Contributions | Bloquer) (défaire)
• 18 avril 2004 à 17:55 Phe (Discuter | Contributions | Bloquer) m (REDIRECT Théorème de d'Alembert-Gauss)

 

Math élém ?

Pourquoi pas apposer ici le modèle "Mathématiques élémentaires" ? (mais peut-être que je n'ai rien compris ? ou alors tout le monde s'en fout ?) Anne 22 avril 2010 à 20:26

C'était et je pense que cela reste un vaste débat. Les différentes positions, si ma mémoire est bonne sont les suivantes :

• Il ne doit pas y avoir de séparation entre les mathématiques élémentaires et les autres, un article doit être graduel et le modèle n'a pas lieu d'être. Cette position fût soutenue par Ambigraphe (enfin je crois).

• L'encyclopédie n'est pas un livre de mathématiques, nous n'avons pas à faire du didactisme primaire. Cette pétition de principe n'est, à ma connaissance, plus soutenu par les contributeurs en mathématiques actifs.

• L'encyclopédie est pour tout le monde, une partie mathématique élémentaire y serait la bienvenue. Je pense que cela reflète l'opinion de HB, même si des attaques brutales l'ont sérieusement refroidie (si j'ai bien compris).

• WP francophone fait des articles généralement abscons pour le public théoriquement visé. Sans articles de mathématiques élémentaires, WP restera inaccessible à un vaste public est c'est dommage. Je pense que cela reflète l'opinion de Jean-Luc W (mais je n'en suis pas certain).

Vis à vis d'un sujet qui a divisé parfois durement la communauté, la prudence est de mise. C'est un sujet à prendre des coups, d'où un silence pudique. Par ailleurs, tu trouveras ça et là des débats philosophiques de contributeurs de bistro, qui heureusement n'ont jamais contribué en mathématiques. Au grès des modes ils conseillent à tout les contributeurs de mathématiques de faire dans le pédagogique, ou alors de maintenir un standard encyclopédique élevé. Leurs arguments sont en général aussi définitifs de péremptoires. Le sondage où quatre contributeurs, qui manifestement n'ont guère contribué dans un sens comme dans un autre en sont un exemple. Ils pèsent un poids totalement nul dans le débat. Jean-Luc W (d) 22 avril 2010 à 21:03

Gauss plus fort qu'Euclide ?

A-t-on un exemple d'anneau où tout irréductible est premier (voire même : sans éléments irréductibles) mais ne vérifiant pas Gauss ? Anne (d) 30 juin 2013 à 01:38 (CEST)

Gauss et Prestet

« Lemme de Gauss » apparaît d'ailleurs déjà dans les Nouveaux éléments de mathématiques de Jean Prestet au XVIIe siècle1.

A propos de la phrase ci-dessus, présente dans l'article: ce serait vraiment très étonnant, vu que Prestet est mort presque un siècle avant la naissance de Gauss.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Yves97 (discuter), le 22 avril 2014 à 11:19‎.

C'est ma faute : la formulation initiale était correcte et je l'ai déformée. Je rectifie. Merci ! Anne (discuter) 22 avril 2014 à 11:54 (CEST)

Où le direct dépend des outils préalables

Dans l'ancienne version de l'article, la proposition de démonstration du lemme de Gauss était la démonstration que l'on trouvait dans la plupart des livres de terminale (spécialité TS édition 2002 ou TC 1971) , et que l'on peut encore trouver dans le Szpirglas algèbre L3 p.539 pour l'anneau des polynômes : le «théorème» de Gauss (ou lemme de Gauss) comme conséquence du théorème de Bézout :

si pgcd(a,b)=1 alors il existe x et y entiers tels que ax+by=1, d'où il vient que c=acx + bcy et si a divise bc, comme a divise ac alors a divise c.

Maintenant figure une démonstration qui est annoncée comme directe mais qui en fait recèle deux pièges :

• le premier est que l'implication "si a et b sont premiers et si c est non nul, pgcd(ca, cb)=c" nécessite une démonstration. Certes elle est simple : il est clair que c divise ca et cb donc c divise pgcd(ca,cb) donc pgcd(ca, cb)=kc donc kc divise ca et cb, par simplification k est diviseur de a et b. Mais comme pgcd(a,b)=1 , on a k=1 et pgcd (ca, cb)=c (en théorie des anneaux remplacer = par ~).
• Le second piège est dans la définition choisie pour le pgcd. En arithmétique élémentaire , c'est le plus grand entier qui divise a et b, en théorie des anneaux c'est un élément qui divise a et b et qui est tel que tout autre diviseur de a et b le divise aussi. En arithmétique élémentaire, la propriété  « si d divise a et b alors d divise pgcd(a,b)» est loin d'être directe. Elle se démontre souvent par ... l'algorithme d'Euclide ou l'identité de Bézout (Vissio 1971 par la variante sur les idéaux principaux - Terracher 2002) ou pour le moins utilise le lemme sous-jacent à l'algorithme (pgcd(a,b)=pgcd (a-b,b))[1]; ce n'est donc pas aussi direct que notre article ne le laisse penser.

Faut-il présenter une démonstration qui peut se généraliser à un anneau à pgcd (animal connu d'une faible tranche de la population), ou une démonstration plus classique utilisant la définition basique du pgcd (définition connue d'une tranche quand même plus large)?

Faut-il présenter une réflexion comme sur ce document sur l'importance relative selon les époques de Bézout et Euclide ? HB (discuter) 12 août 2014 à 09:03 (CEST)

PS : pour ceux intéressés, il me semble bien que Prestet démontre le théorème qui portera le nom de Gauss comme corollaire de «si b et c sont premiers entre eux alors ppcm(b,c)=bc» théorème qu'il démontre à l'aide de ... l'algorithme d'Euclide (voir p.147 et 146)

Gauss plus général qu'Euclide ?

Il est dit que le lemme de Gauss est une « généralisation » de celui d'Euclide.

Pour moi, c'est le contraire : Euclide assure que, sans hypothèse complémentaire, p divise au moins l'un des deux termes du produit (éventuellement les deux), alors que Gauss exige qu'il soit premier avec l'un des deux, pour diviser (exclusivement) l'autre. C'est donc plus restrictif. De plus, Gauss se déduit simplement d'Euclide : si p est premier avec l'un des termes du produit, il ne le divise pas, donc il divise l'autre. Et la déduction inverse (Gauss ⇒ Euclide) ne me semble pas triviale. --Fr.Latreille (discuter) 19 décembre 2017 à 23:21

Euclide est le cas particulier « a premier » de Gauss. Votre preuve de « Gauss se déduit simplement d'Euclide » est fausse. Anne, 20/12, 14 h 07