Discussion:Isopérimétrie

Existence d'une solution dans le cas des triangles

Il me semble que le lemme : "si ABC est un triangle, il existe un triangle isocèle de même périmètre dont l'aire est supérieure ou égale à celle du triangle ABC" fournit en même temps l'existence et l'unicité d'une solution au problème isopérimétrique. En effet ce lemme permet de construire une suite de triangles isocèles de base $a_{n}$, de périmètre P et d'aire $S_{n}$ vérifiant $a_{0}=BC$, $a_{n+1}={\frac {P-a_{n}}{2}}$. $S_{n+1}\geq S_{n}$ . La suite $(a_{n})$ est une suite arithmético-géométrique convergeant vers P/3. La suite $(S_{n})$ est une suite croissante convergeant vers l'aire du triangle isocèle de base P/3 (l'aire est une fonction continue de la base) donc l'aire du triangle ABC est inférieure ou égale à l'aire de $S_{0}$ elle-même inférieure à ${\frac {P^{2}}{12{\sqrt {3}}}}$. Mais je ne sais pas si cette démonstration alternative vaut le coup d'être transférée sur l'article surtout qu'elle n'est pas sourcée. HB (d) 26 octobre 2008 à 08:49 (CET)

Oups, je viens de m'apercevoir que tu n'utilises pas le même lemme que moi : moi je démontre en peu de ligne que si ABC est un triangle de périmètre P, il existe un triangle de même base, de même périmètre et isocèle dont l'aire est supérieure ou égal à l'aire de ABC. Je procède comme toi pour le début, si j'appelle a la longueur de AB, on sait que BC + CE = P-a. L'inégalité triangulaire permet de dire que BE est inférieure ou égal BC+CE et donc que BD est inférieure ou égale (P-a)/2. Le triangle ABD a même aire que le triangle ABC et a une aire moindre que le triangle de même base mais de côté (P-a)/2 (bref au lieu de faire un homothétie, j'effectue une affinité). HB (d) 26 octobre 2008 à 09:37 (CET)

Bonjour HB,

Je suis un peu comme une poule devant un couteau, vis à vis de la question que tu soulèves. L'article se veut le plus simple possible et déleste vers théorème isopérimétrique les questions délicates. Avant 1850, la faute logique du raisonnement ne semble être perçue par personne. La présentation par l'Irem d'Orléan me semble d'ailleurs assez limite sur cette question. Les auteurs donnent l'impression que la difficile question de l'existence d'un optimum ne se pose pas dans le cas des polygones, ce choix est très fréquent pour ce type d'article, quand il est traité de manière didactique.

J'ai pris le parti de mettre les pieds dans le plat, mais de ne proposer une démonstration uniquement dans le cas du triangle. Deux approches sont alors possibles : soit faire appel au théorème des accroissements finis, soit celle que tu proposes (j'avais d'ailleurs trouvé quelque chose dans ton genre, mais en nettement plus Shadok). La tienne me semble posséder l'avantage d'être plus simple et bien dans l'esprit d'Eudoxe. La mienne introduit une idée qui se généralise un peu mieux. Je suis un d'avis de mettre les deux démonstrations, avec la tienne en priorité. Bien expliqué, elle est probablement la plus accessible.

Personnellement, j'estime que les sources ne servent qu'à deux choses : soit aider notre lecteur à valider la pertinence d'une démonstration sur lequel il est mal à l'aise soit aider nos contributeurs à vérifier la démonstration. Une référence trop complexe ou inaccessible me semble contre productive, ce n'est pas ainsi que nous apprendrons à nos lycéens à lire les références. Ici, il faut une source très simple et non universitaire (genre Serge Mehl, Gérard Villemin ou les irem), or les sources que j'ai consulté à ce niveau font l'impasse sur le problème de l'existence d'une solution pour les polygones. De plus, elles sont un peu légères pour l'aspect historique (Villemin voit une résolution rigoureuse en dimension 2 dès Steiner alors que Dress et les autres universitaire voit la résolution beaucoup plus tard et nous explique que Steiner c'est lui aussi pris les pieds dans le tapis). En conclusion, l'absence de source pour ta démonstration ne me fait ni chaud ni froid.

Je vais demander à Jaclaf et Utilisateur:Ambigraphe ce qu'ils en pensent. Jean-Luc W (d) 26 octobre 2008 à 10:26 (CET)

PS : Tu suis plus la logique de l'Irem d'Orléan, elle est un chouilla plus complexe à expliquer initialement. J'ai changé à cause de ma fille Clara (10 ans CM2) qui se mélangeait un peu les pinceaux avec les inégalités mais qui comprend bien que, s'il reste du mou, on peut souffler dans le polygone pour agrandir la surface. Si tu penses que Clara est un peu jeune pour servir de baromètre pour WP, je n'ai aucun souci à modifier. Jean-Luc W (d) 26 octobre 2008 à 10:26 (CET)

Qui suis-je pour lutter contre une fille de 10 ans ...mais est-ce plus compliqué d'expliquer que lorsqu'il y a du mou on peut souffler dans le polygone ou tirer un sommet ? Enfin en relisant l'article pourquoi as-tu préféré parler du théorème des accroissements finis plutôt que du théorème des bornes ? précision : j'aime beaucoup ton article, il m'a tellement intéressée que j'ai commencé à y réfléchir par moi-même et à me dire qu'il y avait peut-être plus simpleHB (d) 26 octobre 2008 à 13:18 (CET)

Hum, à partir du moment ou la petite fille en question est la mienne, elle a nécessairement raison contre l'irem d'Orléans et toi non ? Exceptionnellement, je veux bien faire une exception. Plus sérieusement, je pense qu'Orléans et toi avez raison, mais qu'il faut faire très attention au style. La logique des inégalités fait appel a un formalisme bien utile, mais à une abstraction qui peut dérouter notre public. Tirer un sommet est clairement la bonne idée. Je suis partisan, à ce stade de l'article de favoriser un style proche de celui de la duchesse. Même si j'ai beaucoup de mal à le faire

Sans l'ombre d'un doute, tu as raison sur le choix du théorème. Celui des bornes est beaucoup plus élégant, il nous montre l'existence et, comme on a montré que le seul candidat possible est le triangle équilatéral, l'affaire est dans le sac. Tu évites les méandres d'un calcul analytique sans intérêt.

Comme d'habitude, l'article deviendra bon, le jour où il sera enrichi de nouveau points de vue. Merci pour ton compliment. Jean-Luc W (d) 26 octobre 2008 à 14:26 (CET)

a propos de cette discussion

la preuve de l'inégalité isopérimétrique pour les triangles ne nécessite AUCUN argument d'analyse ou de compacité relisons ce qui est fait dans l'article a) le rapport (périmètre)^2/aire est invariant par homothétie b) si un triangle a deux côtés inégaux on peut diminuer ce rapport (au passage il me semble plus simple géométriquement de diminuer le périmètre en gardant l'aire mais ce n'est pas l'essentiel

Alors un simple argument par l'absurde montre que les triangles équilatéraux réalisent le minimum.

J'avoue que j'ai mis un petit moment à m'en convaincre. D'ailleurs, de très bons auteurs s'y sont laissés prendre ! (G. Polya et G. Szego, dans leur merveilleux livre "Isoperimetric inequalities in math physics")

L'examen de la question analogue pour les courbes peut aider à voir ce qui se passe : on peut diminuer le rapport (périmètre)^2/aire pour une courbe fermée qui n'est pas un cercle en faisant une petite déformation, mais on a besoin alors que la courbe soit C2. Un tel obstacle n'existe pas pour les polygones.

il est dommage de se priver d'un argument élémentaire quand il existe à propos des sources : elles n'ont pas le même rôle et le même sens en math et en histoire (par ex) la validation, c'est le fait que suffisamment d'intervenant(e)s soient convaincu(e)s Jaclaf (d) 29 octobre 2008 à 21:10 (CET)

Argh, je n'ai pas saisi comment tu prouvais l'existence de ce minimum. S'il existe je suis d'accord qu'un raisonnement par l'absurde montre que c'est le triangle équilatéral, mais comment montrer que ce minimum existe ? En tout cas, un grand merci pour nous aider à rendre cet article meilleur. Jean-Luc W (d) 29 octobre 2008 à 21:29 (CET)

aïe ! j'ai écrit une bêtise. Montrer l'existence du minimum est incontournable. Pas content d'avoir écrit des conneries, j'ai cherché une autre démo "élémentaire" il y a une vieille formule un peu oubliée,

$aire={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

p désignant le demi-périmètre. A partir de ça , pour voir que le maximum de l'aire à périmètre donné est obtenu pour le triangle équilatéral, on peut soit utiliser l'inégalité moyenne géom < moyenne artih, soit se ramener à un pb de variation pour une fonction d'une variable, sachant que la géométrie nous dit que le minimum, s'il existe, est au-moins isocèle

mais la démo des ths employés utilise peu ou prou le fait qu'une fonction continue sur un compact atteint ses bornes belle illustration du "principe de conservation de la difficulté" !

Désolé encore une fois ! Jaclaf (d) 30 octobre 2008 à 17:16 (CET)

A mon avis tu n'as pas à être désolé, au moins pour deux raisons. Si Steiner, l'un des plus grands géomètre du XIXe siècle n'a pas plus vu l'erreur que tous les autres mathématiciens avant lui, le fait que tu tombes dans le piège n'est pas déshonorant. Ensuite, l'objectif est de détecter un maximum d'erreurs, il vaut donc mieux alerter en cas de doute qu'en cas de certitude. HB a repéré de nombreuses coquilles dans mes contributions et je dois dire que les références sur lequel je m'appuie en comportent aussi un grand nombre.

Sur le fond, cette affaire est gênante. Le début de la démonstration est élémentaire et accessible à un très jeune lecteur (j'ai fait le test). Puis, pour la deuxième partie, on élève très sérieusement le niveau requis. Je crains alors de perdre la grande majorité de notre public. Est-ce raisonnable de présenter une démonstration qui représente une tel saut ? Est-ce raisonnable de présenter comme complet une démonstration partielle, comme le font la majorité des sites sur la question ? Je suis un peu dubitatif sur la meilleure ligne à suivre. Jean-Luc W (d) 30 octobre 2008 à 19:03 (CET)

moi j'ai une opinion tranchée, et voila pourquoi : vacciné par mon erreur, j'ai relu avec soin (et du coup un peu amélioré) la démo pour le quadrilatère. Et dans ce cas, l'argument élémentaire marche ! Encore une farce que nous jouent les mathématiques. Du coup, je pense qu'il faut présenter le cas des quadrilatères en tout premier (et même pourquoi pas l'exemple du carré parmi les rectangles, à partir de l'inégalité $(a+b)^{2}\geq 4ab$, mais là je suis moins affirmatif car c'est beaucoup moins joli) pour la deuxième partie : il ne faut pas avoir peur d'élever le niveau, à condition de le dire haut et fort, si j'ose m'exprimer ainsi. Jaclaf (d) 31 octobre 2008 à 16:03 (CET)

Bonjour Jaclaf,

Comme quoi, un regard critique sur les démonstrations finit par payer. Oui, HB et moi pargageons ton avis. Pour le quadrilatère, une démonstration à la Zénodore permet de montrer que le carré est l'unique solution. Il semblerait qu'elle soit l'œuvre de Nassirunddin-el-Toussy un mathématicien du XIII^e siècle (ce que je n'ai pas encore bien sourcé). Aurait-il décelé le piège 600 ans avant les autres ? Quel était sa motivation ? Je ne sais pas encore répondre à ces deux étonnantes questions.

J'ai comme toi un peu enrichi la démonstration sur le quadrilatère, la difficulté est que le paragraphe s'appuie sur le cas du triangle. Comment, tout en restant sur un savoir basique, sans trigonométrie ou repère cartésien, démontrer ces amusants résultats si le cas du triangle n'est pas déjà traité ? Je ne sais pas répondre à cette question, ce qui me gène pour mettre en œuvre ton nouveau plan.

Pour le plan, j'ai finalement suivi ton idée, on commence maintenant par les quadrilatères, je continue sur les polygones, car je n'ai plus rien à dire sur les triangles avec la même ligne d'idée. Le cas du triangle illustre à la fin, un propos sur la topologie. Je pense que tu as raison, le plan me semble mieux maintenant.

S'il existe deux découpages cohérents, j'ai tendance à favoriser celui qui conserve un niveau homogène. Mais si tu penses qu'il faut rapatrier des résultats de l'article théorème isopérimétrique dans celui là, pour mieux couvrir les besoins d'un public spécifique, on peut réfléchir sur la question. Jean-Luc W (d) 31 octobre 2008 à 19:35 (CET)

Titre et introduction

D'où sort ce terme d'« isopérimétrie » ? Je ne me souviens pas l'avoir jamais rencontré. Si mon inculture en est la cause, peut-on la pallier avec une référence ? Si le terme est inventé pour l'occasion, je préfèrerais que cet article soit renommé « Problème isopérimétrique », quand bien même le titre actuel pourrait paraitre euphonique.

La première phrase de l'introduction omet de préciser que le problème isopérimétrique peut être donné avec des contraintes : frontière polygonale avec éventuellement un nombre de côtés fixés, voire avec des angles, longueurs ou rapports de longueurs fixés, et même support sur une éventuelle variété à bord (comme dans le problème de Didon). Plutôt que de partir dès la troisième phrase dans les hautes sphères de la généralisation à des dimensions supérieures (ce qui mériterait un article à part, comme « Surface d'aire minimale »), il vaut mieux passer du temps à détailler les variations sur le thème. L'exemple des yeux du bouillon est très adapté et mériterait une illustration.

Le traitement général de ce problème ne « ressemble » pas au théorème de Jordan : il s'appuie dessus ! Il faut effectivement en parler, le choix de l'introduction est raisonnable.

Les fragments d'histoire sont plaisants mais le lecteur néophyte peine à en extraire les idées importantes. Il faudrait mettre en valeur le fait que les deux premiers alinéas évoquent une relation entre l'aire et le périmètre par une approximation valable pour un patatoïde suffisamment proche du disque, mais inexacte en général et inapplicable dès que le contour s'éloigne visiblement du cercle. Les trois alinéas suivants pourraient éventuellement être un poil plus développés pour le plaisir de l'érudition, sans entrer dans le détail des démonstrations mais en expliquant quelles notions ont permis de faire avancer le traitement du problème (intégrale, théorie de la mesure…)

Je confirme qu'avant de traiter la dimension 3, il serait plus raisonnable de bien traiter la dimension 2. La partie doit formuler clairement le problème isopérimétrique : « Étant donné un domaine du plan, comment délimiter une surface d'aire maximale par une courbe satisfaisant éventuellement certaines conditions ? » La réponse au cas général doit être rappelée (elle a été donnée une première fois en introduction) et la démonstration renvoyée à « Théorème isopérimétrique ».

Il faut alors de mon point de vue commencer par traiter le cas de la frontière triangulaire dans le plan. La formulation des résultats pourrait être simplifiée dans un premier temps en écrivant que tout triangle non équilatéral est d'aire strictement inférieure à celle du triangle équilatéral de même périmètre (en notant au passage que ce dernier existe et est aisément constructible à partir du triangle initial) donc que ce dernier maximise l'aire des triangles de périmètre fixé. La démonstration utilise effectivement le lemme proposé mais ce dernier peut être reformulé en « tout triangle non isocèle est d'aire strictement inférieure à celle d'un triangle isocèle de même périmètre ». La deuxième partie peut bifurquer à l'aide de la dérivée, notion moins intuitive que l'existence d'un maximum pour un élève de seconde mais dont la construction complète est plus accessible à un élève de première pour qui la topologie reste encore bien lointaine.

Il est important à ce stade de bien faire la distinction entre la résolution du problème isopérimétrique (où, comme son étymologie l'indique, le périmètre est fixé) avec la maximisation du quotient isopérimétrique (où le périmètre n'est pas fixé). Ce second problème est parfois plus facile à traiter mais il est fondamental de prendre conscience que l'équivalence entre ces deux problèmes est un peu délicate à mettre en place dans le plan ou un secteur du plan, et carrément fausse en général. Or la confusion est sensible dans l'énoncé du théorème et de l'inégalité isopérimétriques pour un polygone où le périmètre et l'aire sont munis d'indices n à première vue inutiles.

D'autres remarques plus tard, Ambigraphe, le 29 octobre 2008 à 12:26 (CET)

Premiers éléments de réponses

C'est toujours avec le même plaisir que je lis tes critiques. Certaines correspondent à des difficultés que j'avais déjà pressenties mais que je n'ai pas su mieux traiter, d'autres éclairent l'article sous un jour que je n'avais pas vu.

• Le titre : J'ai un peu réfléchi à la question. Comme ton intuition te l'indique, je te confirme que le terme le plus fréquent est bien problème isopérimétrique. Le terme isopérimétrie n'est pas une invention de ma part : on le trouve dans des traités de vulgarisation comme isopérimétrie en 5^ième ou dans des textes un peu techniques comme isopérimétrie pour les groupes ou les variétés. Le terme problème isopérimétrique est plus célèbre et mieux défini, on le trouve par exemple comme thème de recherche ou encore comme question technique dans différents domaines, de la théorie des codes aux probabilités Hypercontractivité et isopérimétrie gaussienne. En bref c'est avant tout, semble-t-il un sujet de recherche actif. Pour cette raison, j'ai plutôt choisi le mot plus vague et dont les références sont moins fréquemment des articles de recherche.

• Contrainte et isopérimétrie : Tu as raison sur le fond. Pratiquement j'imagine insérer cette information en deuxième phrase, mais ce sera à toi de juger une fois la correction faite. Attention Surface minimale est un sujet déjà traité (et pas si mal d'ailleurs), mais est un peu différent du problème isopérimétrique, je suis en train de traiter la dimension supérieure dans théorème isopérimétrique, mais il manque encore beaucoup de pièces au puzzle. J'ai un peu refondu Somme de Minkowski, Distance de Hausdorff, Longueur d'un arc, équation d'Euler-Lagrange, mais il reste du pain sur la planche.

• Isopérimétrie et Jordan : Nos avis divergent un peu. Point n'est besoin d'avoir démontrer Jordan pour disposer d'une preuve du théorème, l'article théorème isopérimétrique montre pourquoi. En revanche le développement d'outils pour résoudre les deux questions sont parfois communs.

• Du découpage de l'article : C'est, je pense la question la plus difficile. L'option choisie est de traiter ici toute la partie compréhensible à l'aide d'un bagage inférieur à celui d'un élève de terminal. Hélas, il est insuffisant pour traiter de manière exhaustive même le cas de la dimension 2, je n'insiste donc pas ici sur l'essentiel de la difficulté, qui est traitée dans théorème isopérimétrique. J'ai tenu à exprimer la nature de la difficulté, à la différence des textes classiques sur cette question comme celui de l'irem d'Orléans. Présenter une démonstration comme complète alors qu'elle ne l'est pas (comme c'est très généralement le cas pour ce type de sujet), m'a semblé une erreur. J'ai voulu éviter un article du style : Toutes les techniques que vous, lecteurs êtes capables de comprendre, ne permettent même pas de démontrer le premier cas de la dimension 2, on va tout de même vous présenter ces dites techniques mais, ne rêvez pas trop, elles ne démontrent pas grand chose . Pour cette raison, toute la partie historique qui permet d'aller plus loin est à un clic du lecteur, disponible dans l'article théorème isopérimétrique.

• Démonstration du triangle : Je ne crois pas que tu puisses beaucoup simplifier la démonstration du triangle, au moins en première partie. Cette première partie (crédité à Xenodore) est accessible même aux élèves de 5^ième, elle ne nécessite pas la compréhension d'un repère orthonormé et évite un petit bout d'analyse hors de porté des plus jeunes de nos lecteurs et fastidieux pour les autres. Mais ai-je raison d'aborder la deuxième partie de la preuve ? En général, un texte de cette nature n'en fait pas mention. HB a tiqué sur la première preuve et à proposé la deuxième solution (accessible uniquement à un public beaucoup plus mature) maintenant mis en œuvre dans l'article, son choix est plus élégant et plus simple que le mien. Elle propose encore une troisième solution à coup de suites, qui a moins ma préférence. Enfin, la démonstration que tu proposes est, à mes yeux un peu Punk, au sens qu'elle est no future. Tu ne pourras guère aller beaucoup plus loin avec cette méthode.

• Quotient isopérimétrique et problème isopérimétrique : Pas grand chose à dire, si ce n'est que je partage ton opinion.

Tu soulèves une question lourde et difficile, celle du choix du découpage. De toute manière, à terme, l'article théorème isopérimétrique deviendra à la fois incomplet et trop lourd, un découpage est probablement inévitable. Comment impacter intelligemment cet article ? la question reste ouverte. Pour les contraintes ou l'introduction du quotient, tu as raison à mes yeux. Pour le triangle je n'adhère pas, mais il faudrait voir si tu convaincs HB, qui semble avoir des réticences au même endroit, mais peut-être pour des raisons différentes. En tout cas merci beaucoup de ton aide. Jean-Luc W (d) 29 octobre 2008 à 16:51 (CET)

Existence d'une solution dans le cas du quadrilatère

Il me semble que le cas de l'existence d'une solution optimale pour un quadrilatère est aussi démontrée. On prend un quadrilatère ABCD quelconque de périmère p. On fixe une première diagonale AC. Son aire est inférieure ou égale à l'aire du quadrilatère de AB'CD' de même périmètre dans lequel AB'C et AD'C sont isocèles. La figure possédant (B'D') comme axe de symétrie, on sait que la somme des longueur AB' et AD' vaut p/2 ainsi que l'autre somme. On fixe alors la diagonale B'D'. Le quadrilatère AB'CD' a aussi une aire inférieure ou égale à celle du quadrilatère A'B'C'D' de même périmètre et dans lequel les triangles A'B'D' et C'B'D' sont isocèles. Dans ce quadrilatère, tous les côtés valent p/4. C'est donc un losange dont l'aire est inférieure ou égale à l'aire du carré de côté A'B'. Le carré est donc bien le quadrilatère dont l'aire est maximale. La beauté de la chose c'est qu'aucun argument topologique n'est nécessaire dans ce cas là et cela vaut peut-être le coup de le signaler, non ?HB (d) 31 octobre 2008 à 13:59 (CET).

Ai-je fidèlement pillé ta pensée ? Pour les droits d'auteur, je crois qu'il faut que tu t'adresses à Nassirunddin-el-Toussy, le mathématicien du XIII^e siècle qui semble être le premier auteur de cet astuce. Jean-Luc W (d) 31 octobre 2008 à 19:40 (CET)

Oui, tu as saisi le fond de ma pensée. Il me semble que la démonstration peut encore s'alléger grandement car la partie sur "un quadrilatère d'aire maximale ne peut pas être autre chose qu'un carré" devient inutile. je propose donc une version plus light. Jaclaf avait eu la même idée que moi et propose, vu la simplicité de la résolution, de présenter cet exemple avant celui du triangle. C'est logique en terme de gradation de la difficulté mais surprenant en première lecture. A toi de voir. Superbes tes dessin HB (d) 1 novembre 2008 à 07:57 (CET)

PS: Ton illustration pour la première propriété n'est plus en accord avec ton texte. Tu dis que le triangle rouge est d'aire plus grande que celle du triangle vert mais dans ton dessin les deux aires sont égales. HB (d) 1 novembre 2008 à 08:12 (CET)

J'ai tenté un nouveau plan allant dans votre direction. Je trouve de fait cela mieux. Et toi ?Jean-Luc W (d) 1 novembre 2008 à 21:31 (CET)

Moi aussi, je trouve cela mieux. La question de l'existence d'une solution est alors mieux mise en valeur et on commence par l'exemple le plus simple à traiter. D'autre par ton Nassirunddin-el-Toussy m'évoque Nasir ad-Din at-Tusi. Simple consonance? Ou même personnage ? HB (d) 2 novembre 2008 à 09:30 (CET)

Tu as raison, mon Nassirunddin-el-Toussy est appelé Nasir ad-Din at-Tusi dans ton encyclopédie. C'est d'ailleurs le nom qui est utilisé dans la partie historique. Jean-Luc W (d) 2 novembre 2008 à 10:45 (CET)

Remarque de Claude

Bonjour à tous,

Je débarque un peu sur cet article (après avoir retravaillé Stirling, moivre). Je fais respectueusement observer qu'à mon avis le raisonnement de HB présente deux fautes de logique:

1. ce n'est pas parce qu'on construit une suite maximisante qu'on démontre l'unicité de la solution (il peut exister d'autres suites convergeant vers d'autres limtes présentant la même valeur d'objectif)
2. ce n'est pas parce qu'on construit une suite maximisante d'élements que la limite est nécessairement de cette forme. exemple simple: il existe une suite maximisante parmi les fractions dont le carré est inférieur ou égal à 2 et dont la valeur est rationnelle. Pourtant la limite n'est pas rationnelle.Claudeh5 (d) 2 novembre 2008 à 11:08 (CET)

Réponse de jl

Bonjour Claude,

Je crois néanmoins que l'on peut construire une démonstration à l'aide des idées de HB. Le contexte est le suivant : on considère l'ensemble des triangles que l'on équipe d'une distance, qui, en fait est celle de distance de Hausdorff. Sur cette géométrie, on construit une suite de triangles qui démarre à T₀ par un triangle de périmètre p tend vers T_e, le triangle équilatéral de périmètre p. En vrai, cette géométrie est complète, mais on ne se sert pas de cette propriété puisque que la limite est ici évidente.

Ensuite, on considère la fonction a de l'ensemble des triangles dans R₊, qui à un triangle associe son aire. Dans le cas général, la fonction φ n'est pas continue, elle ne l'est uniquement supérieurement. Cependant, sur le sous-ensemble des triangles la fonction a est parfaitement continue. Une fois ces précautions prises, le fait que la suite a(T_n) soit croissante et convergente de limite a(T_e) montre rigoureusement le résultat recherché.

Un tel raisonnement ne montre pas l'unicité du maximum, mais le lemme 1 montre que si un maximum existe, il correspond nécessairement au triangle équilatéral de périmètre p et est par conséquent unique.

Dans la vraie vie, ce schéma de démonstration est analogue à celui utilisé pour démontrer la formule de Steiner Minkowski (cf Somme de Minkowski), qui sert à démontrer le cas général (cf théorème isopérimétrique au paragraphe Somme de Minkowski).

Je trouve néanmoins le contexte un peu lourd pour un article élémentaire, même si une rédaction habile peut cacher une large partie de la difficulté. La démonstration utilisée maintenant correspond à la deuxième idée de HB, qui n'utilise que le théorème des bornes sur les fonctions d'un segment de R et à valeurs réelles. Jean-Luc W (d) 2 novembre 2008 à 11:49 (CET)

Remarque: je ne dis pas et n'ai pas dit que la démarche de HB était nécessairement vouée à l'échec, simplement qu'elle était insuffisante seule.Claudeh5 (d) 2 novembre 2008 à 12:37 (CET)

Réponse de HB

Cette discussion ne devrait pas avoir lieu car ma proposition n'a pas été retenue mais je ne peux pas laisser dire que mon raisonnement comporte des erreurs de logique. Tout au plus peut-on lui reprocher de n'être pas assez explicite (une piste n'est pas une rédaction fouillée).

Réponse à l'objection 1: la suite que tu appelles maximisante me permet simplement de créer une suite d'inégalités qui permet de comparer l'aire de tout triangle isocèle de base a0 (différent de p/3) et de périmètre p à celle du triangle équilatéral de côté p/3. Comme la première aire est toujours inférieure à la seconde, cela prouve bien que le triangle équilatéral est l'unique solution du problème isopérimétrique

Réponse à l'objection 2 : certaines propriétés ne se transmettent pas par passage à la limite mais ici, il n'y a aucun problème car j'utilise une fonction continue.

J'essaie d'être plus claire. La fonction S qui, au réel x (compris entre 0 et p/2) , associe l'aire du triangle isocèle de périmètre p et de base x est une fonction continue de x. A partir de la base a0, on construit une suite (an) de bases toutes différentes de p/3 et telles que S(an) soit une suite croissante. La suite (an) converge vers p/3, la fonction S est continue donc la suite S(an) converge vers S(p/3) . Les propriétés sur les suites croissantes assurent que S(an) < s(P/3) donc en particulier S(a0)<S(p/3) . J'espère que cette version plus claire lèvera tes doutes. HB (d) 2 novembre 2008 à 15:27 (CET)

Les triangles isocèles de périmètre constants sont identifiés à un scalaire, qui fournit la bonne distance, la limite est connue, le raisonnement est très proche de celui rédigé pour l'instant. La seule question est de savoir quelle est la meilleure piste pour plus de clarté. Mais je crois que nous sommes tous d'accord. Jean-Luc W (d) 2 novembre 2008 à 16:02 (CET)

Bonjour. Je faisais seulement remarquer que ton raisonnement pris dans l'absolu mène à deux erreurs de logique. Le fait, sous-entendu par toi mais pas explicité, que tu te serves de diverses autres propriétés pour asseoir ton raisonnement, n'empêche nullement, j'en suis navré, que l'argument à la base est fautif. Mais je te rappelle qu'un argument fautif dans le cas général peut, dans certaines circonstances, conduire à une preuve solide. Le dangereux est qu'une personne non avertie en vienne à faire des raisonnements basés sur des arguments fautifs en général parce qu'elle n'a pas vu qu'il y avait un contexte particulier.Claudeh5 (d) 3 novembre 2008 à 13:24 (CET)

Pas de problème alors. De toute façon, comme le dit Jean-Luc, le question est de savoir quelle est la meilleure piste pour plus de clarté. il semble que ce soit le théorème des bornes donc autant laisser la version déjà en ligne. oui Jean-Luc, il semble que nous soyons tous d'accord HB (d) 3 novembre 2008 à 14:22 (CET)

frontière ≠ bord

La "frontière" est une notion de topologie générale tandis que le "bord" est une notion de géométrie différentielle.

Dans l'espace euclidien $R^{3}$ soit $V$ la demi-sphère fermée d'équation $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,z\geq 0$, le bord de $V$ est le cercle d'équations $x^{2}+y^{2}=1,z=0$ tandis que la frontière de $V$ c'est $V$ car l'intérieur de $V$ est vide.

Pardon pour mon pédantisme.

Actorstudio (d) 5 novembre 2008 à 19:18 (CET)

Je crois que tu as raison, frontière et bord ne sont pas synonyme. Si j'avais choisi le terme de frontière, ce n'était pas par imprécision. La notion de bord implique l'usage de la géométrie des variétés. Cet outil est peu adéquat pour le traitement des théorèmes isopérimétriques. On ne connait par exemple toujours pas de démonstration complète du théorème isopérimétrique par cette méthode, même dans le cas euclidien. Comme le montre l'article théorème isopérimétrique, le bon concept, qui permet de démontrer le théorème est celui de frontière.

Si la définition de frontière, me semble-t-il, est plus simple que celle de bord, ce n'est pas la raison principale qui m'avait poussée à choisir le mot frontière. La grande majorité des textes pas trop techniques sur l'isopérimétrie parle de frontière car ce concept est plus adapté pour des démonstrations pas trop lourdes et surtout très élégantes. Jean-Luc W (d) 6 novembre 2008 à 11:04 (CET)

Vocabulaire de base

Bonjour à tous.

( courbe, surface, solide) -> ( longueur, aire, volume).

Actorstudio (d) 5 novembre 2008 à 19:39 (CET)

Nous sommes bien d'accord, merci pour les corrections effectuées. Jean-Luc W (d) 6 novembre 2008 à 10:51 (CET)

Steiner

Je dois dire que je suis quelque peu étonné de lire " En 1836, Jakob Steiner obtient un premier résultat nouveau. Sous réserve d'admettre l'existence d'une solution en dimension 2, alors cette solution est nécessairement le disque[13]". En effet le raisonnement de Steiner est fautif. Bonnesen (Les problèmes des isopérimètres et des isépiphanes, pages 1 et 2,) dit ceci: "Rappelons pour commencer les belles recherches de Jacob Steiner: ce sont des constructions élémentaires qui permettent de construire à partir d'une figure non circulaire, soit une figure du même périmètre mais d'aire plus grande, soit une figure de même aire mais de périmètre plus petit, tandis que et l'aire et le périmètre du cercle restent inaltérés par ces constructions. Steiner en conclut que le théorème pour le cercle est démontré.

Mais on voit de suite combien le raisonnement de Steiner est dépourvu de rigueur. [...]

Pour bien illustrer le défaut du raisonnement de Steiner, M. Perron a donné un exemple très frappant en disant que de la même manière on pourrait démontrer que, parmi les nombres entiers, 1 est le plus grand. En effet, on peut indiquer une méthode qui permet d'obtenir, à partir de tout entier autre que 1, un nombre plus grand: il suffit en effet d'une élévation au carré.".Claudeh5 (d) 21 février 2009 à 11:01 (CET)

Il me semble que l'article ne dit pas autre chose : « Sous réserve de l'existence d'une solution, cette solution est un disque. » L'article insiste très précisément sur cette question d'existence (section topologie) en montrant les limites du résultat démontré par Steiner et l'allusion à Perron y figure depuis novembre 2008. HB (d) 21 février 2009 à 16:39 (CET)

Mon problème est que la conclusion de la démonstration de Steiner étant fausse, il n' a rien démontré. Par contre on peut indiscutablement lui attribuer le procédé de symétrisation "de Steiner".Claudeh5 (d) 21 février 2009 à 23:07 (CET)

On peut aussi croire la source citée ci-dessus qui précise que Steiner est l'auteur de constructions élémentaires qui permettent de construire à partir d'une figure non circulaire, ... une figure du même périmètre mais d'aire plus grande. Ce choix est celui retenu dans l'article. Jean-Luc W (d) 22 février 2009 à 09:11 (CET)

Bonnesen

Pourquoi ne pas présenter la démonstration de Bonnesen ?Claudeh5 (d) 21 février 2009 à 23:15 (CET) Comme il est fort possible que vous n'ayez pas le livre de Bonnesen à votre disposition, voici ce qu'il dit:

1. On cherche à montrer que le déficit isopérimétrique L²/4 pi -S est toujours positif. Pour cela, on remarque d'une part qu'il suffit de considérer les figures convexes: la longueur du périmètre de l'enveloppe convexe d'une surface est toujours plus faible que le périmètre de la surface. Donc, le déficit diminue entre la surface et son enveloppe convexe, puisque l'aire de l'enveloppe n'est elle pas inférieure à celle de la surface.
2. Soit donc F une figure convexe et F1 une figure convexe limitée, extérieure et à la distance x de F. En désignant par S et S1 les aires et L, et L1 les périmètres de F et F1, on a évidemment S1=S+xL+pi x² et L1= L+2pi x. Ces formules sont faciles à démontrer dans le cas où F est un polygone et le cas général s'obtient par passage à la limite.
3. De ce fait, le déficit isopérimétrique est, à un facteur constant près, le discriminant du polynome S+xL+pi x². Pour voir que le déficit n'est pas négatif il suffit de montrer que le polynome prend des valeurs négatives ou nulles.
4. Pour x=r ou R, rayons des cercles inscrits et circonscrit à la figure, on a xL-S-pi x² positif ou nul.
5. Soit pour cela une figure ayant au moins trois points de contact avec son cercle inscrit, les trois points n'étant pas sur une même demi-circonférence. Les tangentes au cercle inscrit en ces trois points forment un triangle circonscrit à F. Et prenons d'abord le cas où F est un polygone. Soit a l'un de ses côtés (de longueur a) situé à la distance H du centre du cercle circonscrit. On déplace le côté a parallèlement à une direction intérieure à l'angle dans lequel il se trouve (parallèlement à la bissectrice de cet angle) jusqu'à ce que la droite qu'il détermine devienne tangente au cercle inscrit. On effectue cette opération pour chaque côté du polygone.De ce fait, il est retranché au polygone un certain nombre de parallèlogrammes, et la figure finale est un polygone non convexe contenant le cercle inscrit. Son aire n'est donc pas inférieur à pi r². Donc

$\sum {\frac {1}{2}}Ha-(H-r)a=\sum {ra}-\sum {{\frac {1}{2}}Ha}\geq \pi r^{2}$ or on a $S=\sum {\frac {1}{2}}Ha$ et $L=\sum a$ donc $rL-S\geq \pi r^{2}$.

1. Dans le cas général d'une courbe convexe, ilsuffit de déplacer toutes les droites d'appui situées dans un même angle parallèlement à une direction intérieure à l'angle jusqu'à les amener à être tengentes au cercle inscrit puis, parallèlement à la même direction, d'amener le point d'appui sur la nouvelle droite; le lieu des points ainsi obtenus est une courbe dont aucun point n'est intérieur au cercle. On a alors la même inégalité.
2. On a ainsi

${\frac {L^{2}}{4\pi }}-S\geq \pi \left({\frac {L}{2\pi }}-r\right)^{2}$

Comme indiqué dans l'introduction à propos des démonstrations plus sophistiquées. L'approche de Bonnesen est déjà traitée dans WP à théorème isopérimétrique avec une démonstration plus complète et illustrée, celle de Hadwiger. Jean-Luc W (d) 22 février 2009 à 09:06 (CET)