Discussion:Géométrie symplectique

Qu'est-ce que la géométrie symplectique ?

L'introduction actuelle est plus que décevante pour quelqu'un qui ne connait rien à la géométrie symplectique et ne s'adresse qu'à des gens qui la connaissent déjà. En lisant l'intro , on s'oriente alors vers forme symplectique et on est arrêté des la première ligne pour être envoyé sur fibré vectoriel (là on s'arrête désespéré). Il n'y a a même pas de lien sur forme différentielle (qui pourrait gagner aussi en accessibilité)

Je sais, le défi est énorme à relever

• Indiquer quels sont les prérequis : il semble qu'il faut connaitre la géométrie différentielle
• Indiquer quand elle est née : j'ai trouvé sur le net

son origine remonte aux mathématiciens et aux physiciens du XIXe siècle qui voulaient approfondir de nouvelles idées en physique. Dérivé du grec, le mot « symplectique » signifie « qui entrelace », synonyme de complexe

on trouve aussi des allusions à Lagrange

1946 Hermann Weyl (All., 1885-1955) qualifie de géométrie symplectique (du grec : qui entrelace) la géométrie traitant essentiellement d'objets mathématiques issus de la mécanique [remonte aux travaux de Joseph-Louis Lagrange (Fr., 1736-1813)].

Conley-Zehnder , Gromov,

Elle a passé par trois moments forts au cours des quinze dernières années: les travaux de Conley-Zehnder qui l'ont enracinée dans le Calcul des Variations et la Dynamique, la percée fondamentale de Gromov qui a permis de la voir comme une généralisation très féconde de la géométrie kahlérienne, et enfin les découvertes de Seiberg-Witten et de Taubes qui ont montré la relation surprenante que la théorie quantique des champs entretient avec le symplectique, relation qui implique en particulier la coincidence entre les invariants de Seiberg-Witten (de type gauge) et ceux que Gromov construit avec les courbes holomorphes généralisées

Darboux (puisque'il a un théorème dédié)

L'article parle de Birkhoff (George?) qui meriterait alors un article

• À quoi elle sert ? J'ait trouvé sur le net

La géométrie symplectique, conçue au départ comme une formulation intrinsèque de la mécanique, s'est développé de façon étonnante pour toucher à une large variété de disciplines mathématiques, tout en maintenant des liens très solides à ses origines physiques. Elle a maintenant donné naissance à un nouveau domaine, la topologie symplectique, et a des liens très intimes avec la théorie de jauge

si on peut expliquer brièvement la thérie de jauge ou gauge (?)

Elle offre un moyen pratique de traiter des dimensions combinées en forme d’anneau de la théorie des cordes, ainsi que des dimensions infinies de la théorie quantique

si on peut expliquer ce que veut dire dimensions combinées en forme d’anneau

la puissance de la géométrie symplectique tient à ce qu’elle préserve les surfaces (en deux dimensions) quels que soient les changements topologiques ou la forme de la surface.

si on peut expliquer ce que préserver veut dire

• Elle traite de quoi ? (cela devient plus délicat); j'ai trouvé sur le net, un monsieur charmant et patient, Jean Pierre Bourguignon qui lors d'un colloque de math en Jean tente d'expliquer ce que peut être la géométrie symplectique C'est ici. J'y ai découvert que l'on travaille sur des espaces de dimension paire et que l'outil principal était le calcul de l'aire engendrée par deux vecteurs.

Il me semble que c'est dans cette direction qu'il faut travailler pour présenter la géométrie symplectique et ensuite seulement se lancer dans une définition plus sérieuse et une articulation vers des articles spécialisés. Je ne peux malheuresement pas le faire car je cherche justement ce type de renseignement (sérieux mais vulgarisé) pour m'instruire. Il me semble que quelqu'un possédant des bases dans ce domaine pourrait avantageusement tirer parti des quelques citations et du lien pour écrire cette introduction. HB 18 juillet 2006 à 17:28 (CEST)

Risque de doublon

Cette page pointait auparavant vers topologie symplectique n'y a -t-il pas risque de doublon? Si non, il faudra probablement modifier l'article Topologie symplectique. HB 18 juillet 2006 à 23:16 (CEST)

Utilisateur HB

Euh, la prochaine fois, je refléchirai à deux fois avant de te proposer de relever un défi : ce n'est pas une simple introduction mais un superbe article de présentation de la géométrie symplectique que tu es en train de rédiger. Je ne peux pas te dire qu'à la lecture de l'article j'ai tout compris de la géométrie symplectique car ce serait mentir mais il correspond tout à fait à mon attente : une explication formelle, un positionnement dans l'ensemble des univers géométriques, une approche historique. Bref, il permet au lecteur d'entr'apercevoir la richesse de ce domaine et lui donne envie de se plonger dans la géométrie différentielle (passage obligé avant de comprendre la géométrie symplectique je pense). J'attends que tu finisses l'article pour le lire plus en détail, corriger les erreurs de typo (je ne pourrai évidemment pas corriger les erreurs mathématiques éventuelles), créer des liens et te poser des questions éventuelles permettant d'éclaircir tel ou tel point. Vraiment, beau boulot. Merci. HB 19 juillet 2006 à 18:55 (CEST)

Bravo

Pour cette belle entreprise, tu es en train de rédiger des morceaux très intéressants ! Je te laisse bien sûr développer les choses tranquillement avant de faire des remarques. Juste une cependant : tu ne parles pas encore d'orthogonalité ; l'as-tu prévu ? il me semble que ça permet de rendre la situation un peu plus familière : pas de distance mais de l'orthgonalité. Par ailleurs tu attaques directement sur les variétés. Peut-être commencer par la géométrie symplectique plate serait plus soft ? ça se discute Peps 19 juillet 2006 à 23:16 (CEST)

Mince alors tu as changé le truc entre temps ! je ne dis plus rien pour le deuxième point ! Peps 19 juillet 2006 à 23:18 (CEST)

Je ne compte pas parler d'orthogonalité, car je ne veux pas que le lecteur ait de mauvaises idées à ce sujet, et confonde avec la situation euclidienne, bien différente.

Je commence directement avec les variétés pour situer le lecteur : c'est de la géométrie différentielle, il faut donc avoir lu l'article variété et l'article géométrie différentielle qui mérite d'être redéveloppé. Toutefois, les notions sont développées pas à pas dans la suite de l'article.

Euh ... je préfère le terme géométrie symplectique linéaire. La géométrie symplectique plate désigne l'étude des variétés symplectiques dont la forme annule le deuxième groupe fondamental. (Il y a une analogie grotesque avec les métriques plates : sphère, tore, surface de genre supérieur).

Ektoplastor, même jour, 23;27 CEST

Figure

Quelqu'un peut-il créer une figure (dynamique) représentant deux corps en interaction mutuelle qui effectuent des mouvements elliptiques ? Pljus précisément, j'aimerais un fond colorié, une sphère rouge (soleil), une sphère bleue (terre), et que les ellipses soient représentés par une courbe visible de la même couleur. Dispose-t-on d'une telle figure ?

Merci.

Ektoplastor, même jour, même heure + \epsilon

{{En cours}}

Suggestion : apposer {{En cours}}, car visuellement plus fort. ▪ Sherbrooke (✎) 24 juillet 2006 à 14:09 (CEST)

Histoire des sciences

Bonjour , juste une modeste remarque : Newton n'a pas inventé la loi de la gravitation universelle en 1666 : cela se saurait et il n'y aurait certainement pas eu cette terrible querelle d'antériorité avec Hooke , 13 ans plus tard , en 1679. Querelle démasquée en 1684 par Halley. Même alors , Newton n'a que la loi en 1/r² : la loi de la gravitation universelle , au sens où on l'entend aujourd'hui , est vraisemblablement découverte avec "les théorèmes remarquables " de gravimétrie ( on dit théorèmes de Newton-Gauss aujourd'hui): sans doute en 1684-1685.

Il serait dommage de gâcher un article si prometteur par une bête datation.

D'autre part ce paragraphe Génèse de la mécanique hamiltonienne est de qualité médiocre. Je peux faire mieux, si demandé. Wikialement --Guerinsylvie 25 novembre 2006 à 14:36 (CET)

Brouillon d'intro vulgarisée

Je viens de wikifier les balises d'un truc que j'avais commencé à écrire en TeX et jamais terminé mais qui se voulait être une introduction élémentaire à la géométrie symplectique. Le résultat est sur Utilisateur:Pmassot/Brouillon. Ekoplastor et moi pensons qu'on pourrait en tirer quelque chose à mettre au début de la page Géométrie symplectique mais il faudrait en discuter plus précisemment, sachant que certaines parties sont peu developpées et qu'il y a des problèmes inhérents à la vulgarisation (phrases floues voire fausses). Tous les commentaires sont les bienvenus. Pmassot 27 février 2007 à 10:11 (CET)

Variété cotangente et fibré cotangent

Très recemment l'expression « variété cotangente » a été remplacée (à un seul endroit d'ailleurs) par fibré cotangent. Il me semble que la deuxième expression est en effet largement plus répandue (et plus informative) mais le fait est qu'il existe un page variété cotangente et pas de page fibré cotangent, il faudrait se mettre d'accord. Personnellement je serai assez pour un renommage de variété cotangente et une redirection.

Par ailleurs la deuxième occurence de « variété cotangente » est dans la ligne d'interactions avec la géométrie riemannienne, pourquoi ? Est-ce parce que le flot géodésique vue dans le cotangent est hamiltonien ? Si c'est ça alors il faudrait le préciser un peu. Pmassot

Oui, on emploie plus souvent fibré cotangent et donc il faut effectuer un remplacement systématique. (Il peut y a avoir une confusion : que signifie une forme symplectique sur le fibré cotangent ? Variété cotangente est assez joli car le terme insiste sur le fait que l'objet étudié est l'espace total et non le fibré vectoriel.) Mais il faut mieux employer fibré cotangent.

Pour la deuxième occurence, oui.

Pour un renommage, oui aussi.

Ekto - Plastor 28 février 2007 à 22:39 (CET)

Ah tiens, il me semble que c'est moi qui ai fait le changement dans l'introduction. C'est vrai que je ne faisais que passer et que je ne travaille pas sur cet article, donc je vous laisse voir… En passant, j'ai aussi lu le brouillon de Pmassot et j'aime la structure de son plan (je ne suis pas entré dans les détails). --DSCH (m'écrire) 4 mars 2007 à 13:32 (CET)

Topologie symplectique

Il existe un article Topologie symplectique bcp moins complet qui à l'air de parler de la même chose. Je laisse le soin à une personne maitrisant mieux le sujet que moi pour faire une fusion des deux articles. Merci d'avance. Pamputt 15 mai 2007 à 15:11 (CEST)

Refonte de l'article - Réécriture

Participants : Utilisateur:Ektoplastor -

L'article a besoin d'être réécrit. Je propose dans un premier temps de mieux organiser les informations et d'éviter dans la mesure du possible les redites. J'ai permuté les paragraphes pour placer en premier le paragraphe Ethymologie et regrouper les paragraphes récemment ajoutés par Utilisateur:Pmassot. Une réécriture de chaque partie s'avère nécessaire. Cette réécriture prendra un certain temps. L'idéal serait dans un premier temps d'obtenir un article qui soit le plus lisible possible. Une première proposition de plan est la suivante :

1. Ethymologie
2. Motivations
   1. Formalisme hamiltonien de la mécanique classique
   2. Optique géométrique linéaire
   3. Origine historique de la géométrie symplectique
3. Présentation générale
   1. Géométrie symplectique linéaire
   2. Forme symplectique
   3. Difféomorphisme hamiltonien
   4. Sous-variété lagrangienne
4. Applications
   1. Flot géodésique
   2. Géométrie de contact
   3. Géométrie complexe

(La partie Histoire se retrouve d'une part dans les "origines" et d'autre part morcelée entre les différentes parties. L'homologie de Floer devra présentée en qualques lignes dans la partie Difféomorphismes hamiltoniens et Sous-variété lagrangienne.

Ekto - Plastor 27 septembre 2007 à 17:31 (CEST)

Je ne pense pas qu'on puisse être deux à modifier le plan simultanément. J'attends de voir le nouveau plan avant de recontribuer. Par ailleurs une bonne partie de ce que j'avais écrit visait à motiver le formalisme hamiltonien de la mécanique classique. Si ce formalisme est confiné dans un paragraphe de motivation je pense qu'il va falloir réduire beaucoup, non ? Pour la question de la disponibilité je ne peux pas le prévoir à l'avance, cela dépend trop de l'avancement de mon travail. Bon courage Pmassot 27 septembre 2007 à 18:03 (CEST)

Quelques remarques

Puisqu'on m'a demandé mon avis, le voici.

• Dans l'introduction, le style légèrement ampoulé gagnerait à s'enrichir de quelques précisions : plutôt que de parler de domaine actif, on peut donner une date ou un siècle qui voit la naissance de ce domaine ; quitte à dire « né de la volonté… », autant préciser la volonté de qui ; au lieu d'évoquer une « rencontre », pourquoi ne pas écrire « Elle utilise les outils de la géométrie différentielle pour étudier certains systèmes dynamiques » (si ce n'est pas le cas, il serait bien de corriger l'interprétation naturelle de la phrase). Enfin, on pourrait dire que cette théorie met en lumière (corrigez-moi si je me trompe) les relations entre position et quantité de mouvement dans un système mécanique, ça permettrait au physicien audacieux qui souhaite y comprendre quelque chose de ne pas se sentir malvenu.

  Oui, l'introduction serait à rédiger en dernier. J'ignore s'il y a une date précise à mentionner pour la naissance d'un domaine : ne serait-il pas plus exact de considérer qu'une recherche nait progressivement par l'accumulation de travaux dans une direction donnée ?

  Il serait faux de définir la géométrie symplectique comme une application de la géométrie différentielle aux systèmes dynamiques.

  Évidemment que la recherche ne naît pas brusquement à partir de rien. Mais les premiers résultats relevant spécifiquement de la géométrie symplectique doivent pouvoir être datés, non ?

  Je n'ai pas écrit que la géométrie symplectique se définissait de la sorte. J'ai cru lire que telle était une utilisation de ce domaine. Si ce n'est pas le cas, il faut que ce soit plus clair. Ambigraphe, le 25 octobre 2007 à 22:02 (CEST)

• Le paragraphe sur la terminologie est plutôt correct, même si je me demande quel est l'intérêt de donner les dates de vie de Weyl au jour près. La définition mathématique du groupe symplectique arrive un peu abruptement dès la première phrase. On pourrait commencer par dire que Weyl introduit la terminologie symplectique pour étendre certaines propriétés des structures définies sur les nombres complexes, les deux adjectifs ayant les mêmes racines mais la première prenant au grec ce que la seconde formulait en latin. Ensuite, on peut effectivement définir les groupes symplectiques et évoquer les formes et variétés correspondantes avec un chouia plus de détails si possible.

  Oui, à réfléchir...

• La partie Motivations écœure immédiatement toute mortel sain d'esprit et même probablement une partie des mathématiciens. Quel dommage que la partie Genèse, qui est la plus digeste de tout l'article, soit reléguée en avant-dernière place ! Si cela ne tenait qu'à moi, je la mettrais même avant la partie sur la terminologie. Si on pouvait d'ailleurs dans la foulée visualiser les p_i et les q_i sur cet exemple simple et faire un paragraphe sur l'espace des phases avec un diagramme bien senti, le lecteur aborderait la généralisation aux n termes sans se démonter.

  J'ai donné des explications ci-dessous pour comprendre l'évolution de l'article. Cette partie nécessite d'être réécrite, et la présentation éventuellement simplifiée. Actuellement, cette partie a été incorporée au corps de l'article...

• Passons sur la partie Optique géométrique qui reste à écrire, puisque son contenu recopie actuellement la partie précédente.

  J'ai ajouté le titre de la section, c'est une erreur, car je n'ai pas vraiment trouvé le temps et le courage de rédiger. Désolé.

• Le théorème de Liouville semble très compliqué au premier abord, puis dès qu'on a compris qu'il exprimait simplement la conservation du volume, on le trouve trivial en oubliant que les transformations ne préservent pas les distances. Un bon dessin ferait sentir au lecteur simultanément la simplicité de l'énoncé et l'étonnante puissance du résultat. Tant que j'y pense, ça évoque pour moi le principe d'incertitude de Heisenberg, mais j'ignore s'il y a un rapport théorique entre ces notions.

  En effet, ce passage nécessite d'être réécrit. Avec du recul, il peut être largement simplifié. Le principe d'incertitude de Heisenberg serait plutôt à rapprocher de l'impossibilité de plonger une boule fermée (donc de volume fini) par un symplectomorphisme dans certains domaines de volume infini. Ce rapprochement peut être référencé. (Pas de soucis de travail inédit.)

• Le théorème de Poincaré pourrait être résumé avant l'énoncé mathématique en expliquant qu'est également conservée la somme des surfaces obtenues en regroupant chaque coordonnée p avec la coordonnée q correspondante. On pourrait souligner que le théorème précédent dit la même chose en remplaçant « somme » par « produit », que ça donne une information forte quand on a seulement deux fois deux variables, mais qu'au delà c'est moins évident. On peut alors sortir le théorème de Gromov qui étend la conséquence précédente aux grandes dimensions. L'avant-dernière phrase de ce paragraphe se lit comme le fait que Gromov ne dit rien de plus que Poincaré, je n'ai pas l'impression que ce soit le cas.

  Le théorème de Gromov est de loin le plus important pour la géométrie symplectique. Dans l'idéal, il faudrait lier le résultat à l'existence des "capacités symplectiques" ce qui permet en particulier d'en parler assez tôt, sans forcément rentrer dans des détails techniques trop importants. Je pensais aussi mentionner que le théorème de Gromov a été démontré en utilisant des courbes holomorphes et que l'utilisation de telles courbes est un outil récurrent en géométrie symplectique. En mentionnant un théorème de première importance, on arrive de la sorte à introduire rapidement deux notions fondamentales.

• Le théorème de Noether relève-t-il de la géométrie symplectique ? C'est ce qu'on imagine mais ce n'est pas clair. Le raccourcissement d'une démonstration de dix lignes à une ligne paraît bien anecdotique, il faudrait expliquer en quoi ce ne l'est pas.

  Le théorème de Noether relève de la géométrie symplectique à condition de faire réellement le lien entre les équations d'Euler-Lagrange et la dynamique hamiltonienne. Ce lien est mentionné mais n'est pas explicité. Ce serait difficile de le développer un peu dans un article d'encyclopédie, mais ce ne me semble pas insurmontable.

• Peut-on détailler en quoi la situation est très simple pour un système hamiltonien intégrable ?

  Il le faudrait, oui.

• La géométrie symplectique linéaire pourrait être placée plus haut (avant les théorèmes ?)

  L'histoire de l'article permet de comprendre pourquoi elle se trouve placée là. Comme je l'ai dit, le plan est à réviser.

La suite pour une prochaine fois, Ambigraphe, le 14 octobre 2007 à 19:27 (CEST)

Le mieux serait certainement de repartir d'une page blanche sur un brouillon et d'y incorporer petit à petit les informations issues de la version actuelle de l'article pour obtenu un plan réellement structuré. Kelemvor 25 octobre 2007 à 17:29 (CEST)

Introduction

• « La géométrie symplectique ... . En mathématiques, elle trouve des applications en géométrie algébrique, en géométrie riemannienne et en géométrie de contact. » : je méconnais trop cette géométrie pour oser rectifier ; mais cela me semble être une énorme renversement des rôles. Ce serait plutôt : « La géométrie symplectique est une application de la géométrie différentielle et de la géométrie algébrique à la mécanique classique. »
• Par ailleurs, je partage le point de vue de HB : « L'introduction actuelle est plus que décevante pour quelqu'un qui ne connait rien à la géométrie symplectique et ne s'adresse qu'à des gens qui la connaissent déjà. » (en fait, il n'y a pas d'introduction). {{User:STyx/Signature}} 25 octobre 2007 à 16:06 (CEST)

Afin de comprendre l'évolution de l'article :

• La remarque de HB portait sur une des premières versions de l'article, soft : [[1]] ;
• Suite à sa remarque, j'ai entrepris un premier développement (c'était mes premières contributions ), avec comme premier objectif d'introduire l'aspect symplectique en faisant sentir les choses (j'avoue ne pas y être arrivé) : [2] ;
• Puis suite à diverses remarques, j'ai entrepris une nouvelle refonte : [3] ;
• Par la suite, Pmassot a introduit une première partie avec je crois comme premier objectif de donner une introduction accessible pour ceux qui ne sont pas à l'aise avec la géométrie différentielle : [4] ;
• Et enfin, j'ai souhaité uniformiser l'article et couler ce nouvel ajout dans le corps de l'article : [5].

Une des critiques qu'on peut me faire est le manque de références mais pour l'instant, l'article n'est pas génial et reste inachevé. Je serai en mesure d'ajouter les références le jour où on arrivera à une version robuste. S'il n'y a pas d'introduction, c'est que pour l'instant il faudrait d'abord revoir le plan et l'organisation des informations. Il y a énormément d'informations, mais elles sont très mal organisées.

Je rejoins parfaitement la critique qui est faite à cet article.

Ekto - Plastor 25 octobre 2007 à 16:55 (CEST)