Discussion:Dimension d'un espace vectoriel

Dimension de l'espace nul

L'espace nul $\{0\}$ n'admettant aucune base, comme justifier que sa dimension est nulle avec la définition donnée dans cet article ? Nefbor Udofix  -  Poukram! 31 octobre 2009 à 19:14 (CET)

L'espace nul admet la base vide, qui est la famille vide, c'est-à-dire la famille indicée par l'ensemble vide, c'est-à-dire l'unique application de l'ensemble vide dans l'espace nul. Ambigraphe, le 1 novembre 2009 à 11:04 (CET)

Certes, la famille indicée par l'ensemble vide est libre. (Quelle que soit la famille indicée par l'ensemble vide de scalaires, etc) est vraie. Mais pourquoi la famille indicée par l'ensemble vide est-elle génératrice ? Comment peux-tu décomposer le vecteur nul ? Ne serait-il pas plus simple d'imposer que la dimension de l'espace nul est nulle ? Nefbor Udofix  -  Poukram! 1 novembre 2009 à 11:56 (CET)

Le vecteur nul est la somme de la famille nulle, où est le problème ? Touriste (d) 2 novembre 2009 à 21:08 (CET)

Tu voulais sans doute dire que 0 est la somme de la famille vide. Il reste vrai que toutes les coordonnées du vecteur nul sont nulles. Mais du coup, il est tout aussi vrai que toutes ses coordonnées sont égales à 1, ou encore que toutes ses coordonnées sont deux à deux différentes. Il n'y a pas de problème, seulement une série d'affirmations aussi inutiles et inintéressantes que troublantes. Néanmoins, cela mérite d'ajouter trois lignes sur cet article, par rapport à la version du 31 octobre.

Nefbor Udofix  -  Poukram! 8 novembre 2009 à 12:44 (CET)

Euh oui, tu as bien corrigé mon lapsus. Il me semble qu'indiquer quelle est la base, comme je l'ai fait, complète l'information du lecteur sans qu'il soit besoin d'« ajouter trois lignes », mais si tu le souhaites ne te gêne pas. Touriste (d) 8 novembre 2009 à 17:50 (CET)

Hem ... Tout espace de dimension 0 etc : tu n'affirmes pas l'existence d'un espace de dimension 0, ce n'est pas réellement un exemple. Nefbor Udofix  -  Poukram! 8 novembre 2009 à 17:56 (CET)

Ta remarque me semble de l'ordre de la tétracapillectomie, mais n'hésite pas à modifier derrière moi si tu penses que ça apportera quelque chose au lecteur. Touriste (d) 8 novembre 2009 à 17:57 (CET)

Échanges entre Touriste et Claude

Cette réponse, j'y ai aussi pensé. Mais comment justifier que la base ait 0 éléments ? La dimension d'un espace vectoriel est le nombre des éléments de la base. Or on appelle base toute famille libre maximale qui est aussi génératrice. Si l'espace est de dimension 1, la base contient un élément, le vecteur nul. Celui-ci est générateur mais pas libre ! Donc contradiction. Si l'on pose que la dimension est 0, le nombre d'éléments de la base est 0, autrement dit elle est vide. S'il y a 0 élément, il n'y a pas de somme qui puisse être faite et sa valeur n'est pas 0 mais vide. Que le vecteur nul soit générateur, cela ne pose pas problème mais la famille est alors a un élément.

rappel: Une famille $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ finie de vecteurs de $E$ est dite libre dans $E$ si, et seulement si:

$\forall (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\in K^{n},\ \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}e_{i}=0\Longrightarrow \forall i\in \{1,\ldots ,n\},\ \lambda _{i}=0.$

Dans le cas contraire, elle est dite liée. Or ici, le vecteur nul seul ne peut être libre car a*O = 0 sans que cela implique a =0 ! Claude le pénible (d) 3 novembre 2009 à 23:14 (CET)

Mais si on peut faire la somme de rien. La somme de rien, ça vaut zéro par définition de la somme d'une famille finie, je trouve en quelques secondes une source dans ma bibliothèque, c'est bien écrit noir sur blanc dans l'annexe d'algèbre linéaire du "fondements de l'analyse moderne" de Dieudonné et sûrement à des centaines d'autres endroits. Touriste (d) 3 novembre 2009 à 23:21 (CET)

Ce que tu ne comprends pas c'est que la somme de rien fasse 0 mais quand on ne somme pas, on n'a pas de résultat ! Claude le pénible (d) 3 novembre 2009 à 23:23 (CET)

C'est comme pour une fonction: si je ne la dérive pas, je n'ai pas 0 comme résultat !Claude le pénible (d) 3 novembre 2009 à 23:24 (CET)

Très précisément je ne suis pas d'accord avec ta phrase « S'il y a 0 élément, il n'y a pas de somme qui puisse être faite et sa valeur n'est pas 0 mais vide ». Je n'en comprends pas bien la deuxième moitié (à quoi se rapporte le "sa" ?) mais la première est inexacte, $\sum _{i\in \emptyset }x_{i}$ ça a bien une définition écrite dans les livres. Touriste (d) 3 novembre 2009 à 23:25 (CET)

Il s'agit la plupart du temps d'une convention. A l'instar de la convention du calcul intégral 0 x infini=0.Claude le pénible (d) 3 novembre 2009 à 23:30 (CET)

Certes c'est une convention, comme la définition de la dérivée est une convention, mais c'est la seule convention qu'on trouvera dans la littérature. Tiens je viens de dénicher une source disponible sur le ouaib : c'est écrit noir sur blanc dans Bourbaki d'Algèbre, en bas de la page numérotée 13 : [1] sur Google Books je ne sais pas faire un lien direct sur la page, désolé. Touriste (d) 3 novembre 2009 à 23:36 (CET)

Finalement, c'est uniquement par convention que tu dis qu'une somme de termes sur un ensemble vide est nulle. Il n'y a pour justifier cela que deux choses qui m'apparaissent tout de même assez faibles:

1/ la formule card(E)=card(K)^dim(E)

2/le fait qu'un espace ayant une base réduite à un élément serait de dimension 1, ce qui signifierait que la famille est libre. Or manifestement {0} ne peut être libre que si K est lui-même réduit à {0} (mais c'est peut-être ce que tu admets... :Quel est le corps de base ?). Il m'apparaît qu'il conviendrait mieux de dire qu'il n'y a pas d'ev de dimension 0.Claude le pénible (d) 4 novembre 2009 à 13:32 (CET)

Oui, je le répète : toute définition est une convention. Maintenant les conventions ne sont pas prises arbitrairement, elles sont choisies pour que le formules continuent à marcher. De même que poser $a^{0}=1$ permet de conserver même pour des entiers peut-être nuls la véracité d'une formule comme $a^{m+n}=a^{m}a^{n}$, la convention usuelle pour la somme de la famille vide permet de conserver même pour des familles peut-être vides la véracité d'une affirmation comme $\sum _{A\cup B}=\sum _{A}+\sum _{B}$ (pour une union disjointe bien sûr). C'est une convention, et la seule convention sensée.

Tes 1) et 2) me semblent hors sujet : la convention sur la somme de la famille vide est posée dans les livres bien en amont de l'étude des espaces vectoriels, et sert un peu partout (dès qu'on découpe un ensemble de trucs additionnés en deux sous-ensembles disjoints, sans se donner la peine de vérifier qu'ils ne sont pas vides)

Je ne comprends d'ailleurs pas bien ton 2). Par définition les corps ont au moins deux éléments ce qui sert à pas mal de choses, et notamment à fonder la théorie de la dimension des e.v. La famille (0) n'est en effet libre dans aucun espace vectoriel. Où est le problème ?

Sur ta dernière phrase, nous sommes là pour transmettre les définitions qu'on trouve dans la littérature, pas les retoucher à notre goût (et par ailleurs je suis tout à fait pas d'accord avec toi, pouvoir écrire des formules comme $dim(E)+dim(F)=dim(E+F)+dim(E\cap F)$ sans y adjoindre un "lorsque $E\cap F$ n'est pas réduit à $\{0\}$" c'est quand même sacrément confortable.

Je ne compte plus revenir à cet échange, nous dérapons trop par rapport à la fonction d'une page de discussions qui est de travailler à l'article. Touriste (d) 4 novembre 2009 à 14:23 (CET)

Une somme d'entiers naturels, c'est, à peu de chose près, une union. Or, la réunion d'une famille d'ensembles est constituée des éléments qui appartiennent à au moins un de ces ensembles. Donc la réunion d'une famille vide est vide, son cardinal est zéro. Si on ne réunit (ou somme) rien, on n'a rien (ou zéro). Donc cette convention n'est pas juste du "confort", mais fondamentale. C'est différent de l'exemple sur la dérivée cité par Claude plus haut pour cette raison. Me trompe-je ? ---- El Caro ^bla 4 novembre 2009 à 15:27 (CET)

dimension d'un espace vectoriel et Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels

Discussion transférée depuis WP:PàF

Les deux articles traitent du même sujet : la définition de la dimension en algèbre linéaire. Il n'y a pas lieu de séparer en deux. Nefbor Udofix  -  Poukram! 30 octobre 2009 à 22:19 (CET)

Complètement d'accord sur le fond. Sur la forme, il me semble que l'algèbre linéaire est un poil plus large que ce qui concerne seulement les espaces vectoriels, mais c'est un débat qui pourrait avoir lieu ailleurs. Ambigraphe, le 30 octobre 2009 à 22:47 (CET)

Plutôt neutre : l'article Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels peut potentiellement justifier d'être une « loupe » explicitant un morceau de dimension d'un espace vectoriel, s'il expose en détails les diverses méthodes de démonstration et peut-être quelques considérations historiques sur celles-ci. En l'état des articles, la fusion semble un bon compromis. Touriste (d) 1 novembre 2009 à 16:46 (CET)

Quelques lignes sur l'histoire de la notion de dimension vectorielle - que je suis incompable d'écrire - ont toute leur place dans l'article dimension d'un espace vectoriel. Ce dernier, pas très long, peut bien supporter une démonstration. Reste une question : est-ce le rôle d'une encyclopédie de donner toutes les démonstrations ?

Nefbor Udofix  -  Poukram! 1 novembre 2009 à 17:17 (CET)

Plutôt contre : la traduction de l'article anglais serait à terminer ; la démonstration du théorème de la dimension est en dimension finie un poil plus compliquée qu'on ne le souhaiterait dans un cours introductif. Soit il faut faire un peu d'algèbre linéaire (genre résolution de systèmes d'équations) sans la notion de dimension, soit démontrer un petit lemme d'échange (qui n'a pas été traduit mais qui est sur la page anglaise). Dans les deux cas ce serait un peu trop dans un article sur la dimension (pas le genre de démonstration qui aide tant que ça à comprendre), mais ça justifie un article mineur sur le théorème. Il me semble qu'il y effectivement à dire sur le plan historique (Steinitz dans le cadre des extensions de corps, Grassman). Sur la dimension il devrait y avoir autre chose à dire, le théorème de Brouwer sur la dimension par ex. (précédé des résultats de Cantor qui montre que la cardinalité ne rend pas compte de la dimension, surprise à l'époque). Proz (d) 3 novembre 2009 à 23:39 (CET)

Mais Wikipédia est-il un cours introductif ?

Deux oppositions à cette demande de fusion me semblent suffisantes pour la cloturer. Nefbor Udofix  -  Poukram! 7 novembre 2009 à 23:20 (CET)

Dimension et cardinal

Combien un espace de dimension infinie α sur un corps de cardinal β a-t-il de bases (vues comme ensembles) ? Anne (d) 16 décembre 2012 à 01:45 (CET)

Dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels

Il faudrait quand même qu'il y ait quelque part l'identité

$\operatorname {dim} (E+F)=\operatorname {dim} (E)+\operatorname {dim} (F)-\operatorname {dim} (E\cap F),$

dans laquelle $E$ et $F$ sont des sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel de dimension finie, ce que je ne peux écrire dans toute la généralité requise par cette page ... JChG (discuter) 8 mai 2015 à 16:30 (CEST)