Discussion:Anneau non commutatif de polynômes

Autres constructions

Cette construction est très classique ; mais elle insiste trop sur le fait que les puissances doivent être entières. Une autre construction est la suivante : on se donne un monoïde M et un anneau A, et on considère A[M] l'ensemble des fonctions de M dans A nulles presque partout. On peut alors facilement munir cet ensemble d'une structure d'anneau, de sorte que $A[\mathbb {N} ]$ est isomorphe au $A[X]$ construit dans l'article. En choisissant plutôt $A[\mathbb {Z} ]$, on obtient des objets avec des puissances négatives, $A[\mathbb {Q} ]$ des puissances fractionnaires, etc. Évidemment, comme la construction est plus générale, certaines propriétés ne sont plus vraies que dans des cas particuliers (la division euclidienne par exemple).

Cette construction est utilisée notamment quand on s'intéresse à la cohomologie des groupes.

Snark 10 septembre 2005 à 09:50 (CEST)

Une autre construction plus simple, est le produit tensoriel des algèbres A et $\mathbf {Z} [X]$ : $A[X]=A\bigotimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Z} [X].$--Cbigorgne (d) 19 janvier 2009 à 21:29 (CET)

Commutativité

Je suis trop paresseux pour remédier au problème constaté, mais l'article est incohérent puisqu'il suppose l'anneau de base commutatif pour ensuite distinguer des notions de "valeur à droite" et de "valeur à gauche". Bon si j'ai du courage je regarderai s'il suffit de supprimer l'hypothèse de commutativité de A pour rendre l'article cohérent ou si elle est de ci de là discrètement utilisée... --Touriste 14 juillet 2006 à 11:38 (CEST)

Grmmpffffff les remarques sur A[X] comme algèbre s'effondreront si A peut ne pas être commutatif, tandis que les nuances sur "valeur à gauche" et "valeur à droite" s'effondreront si A l'est. Allô allô y a-t-il des gens qui suivent la page et ont un avis sur ce qui doit être coupé ? --Touriste 14 juillet 2006 à 11:44 (CEST)

Bon ça n'a pas l'air trop grave ; il doit suffire de prendre position clairement pour savoir si on veut traiter les anneaux de polynômes sur les anneaux possiblement non commutatifs, ce qui me semble personnellement inutile, mais ça se discute. Et si on veut le faire, il faut revoir le plan de l'article, peut-être renvoyer le cas non commutatif à un deuxième article lié depuis le premier ? --Touriste 14 juillet 2006 à 11:54 (CEST)

Le paragraphe concernant la structure d'algèbre associative sur un anneau (et non pas "algèbre") lorsque A est commutatif est à présent hors sujet, et figure déjà dans polynôme formel et même dans polynôme en plusieurs indéterminées. Qui s'oppose à sa suppression ? Anne Bauval (d) 18 janvier 2010 à 04:16 (CET)

Division par (X.1 - u) et valeur en u...

Cette discussion sur la division par (X.1 - u) prend tout son intérêt pour la démonstration du théorème de Cayley-Hamilton à partir de la relation faisant intervenir la transposée de la comatrice que l'on peut trouver sur Wiki :

$(y.I-A)^{t}com(y.I-A)=det(y.I-A)I=P(y).I$

Cette démonstration permet également de réfléchir sur les concepts de valeur à droite et à gauche. Dans cette démonstration, on a des polynômes dont les coefficients sont des matrices carrées nxn. L'anneau considéré est donc non commutatif. Le point-clé est alors d'utiliser la relation en remplaçant "y" (y complexe) par la matrice A. La grande différence entre y et A, c'est que y commute avec les coefficients (matriciels) des polynômes. Ceci explique pourquoi "y" peut jouer un rôle identique à l'indéterminée "X" et que la fonction polynôme en y recouvre le concept de polynôme d'indéterminée X.

Malgré les précautions prises, l'auteur confond un peu l'expression en l'indéterminée "X" et la valeur de la fonction polynôme en "u", en particulier dans la démonstration sur la valeur en u (qui n'est pas claire). Je propose cette présentation :

Posons $Q(X)=b_{n-1}X^{n-1}+...+b_{1}X+b_{0}$

$P(X)=Q(X).(X.1-u)+R(X)$ :

Etudions alors les deux membres de l'expression ci-desssus mais dans le cas où X est une variable ne commutant pas forcément avec les coefficients. L'égalité n'est donc pas forcément vérifiée ! Nous allons montrer qu'elle l'est seulement pour X=u et en prenant les valeurs à gauche. Le membre de droite est égal à :

${\begin{array}{lll}Q_{g}(X).(X.1-u)+R_{g}(X)\\=b_{n-1}X^{n}+(-b_{n-1}X^{n-1}u+b_{n-2}X^{n-1})+\cdots +(-b_{1}Xu+b_{0}X)-b_{0}u+R_{g}(X)\\=b_{n-1}(X^{n}-X^{n-1}u)+b_{n-2}(X^{n-1}-X^{n-2}u)+...b_{0}(X-u)+R_{g}(X)\end{array}}$

Lorsqu'on remplace X par u, la seconde ligne indique bien que le second membre est égal à $R_{g}(u)$. Mais il faut également remarquer d'après la première ligne que la valeur en u est égale à la valeur de $P_{g}$ en u :

$b_{n-1}u^{n}+(-b_{n-1}u+b_{n-2})u^{n-1}+\cdots +(-b_{1}u+b_{0})u+(-b_{0}u)+R_{g}(u)=P_{g}(u)$

En effet, cette expression permet de retrouver les coefficients de P(X).

--Fabrej0 6 mai 2007 à 13:25 (CEST)

Je ne comprends pas tes "l'auteur confond un peu l'expression en l'indéterminée "X" et la valeur de la fonction polynôme en "u" ", ni "X est une variable ne commutant pas forcément avec les coefficients. L'égalité n'est donc pas forcément vérifiée ! Nous allons montrer qu'elle l'est seulement pour X=u et en prenant les valeurs à gauche". Mais c'est pas grave, car je trouve très claire la démonstration incriminée de l'article (sans doute a-t-elle changé depuis 2007) Anne Bauval (d) 20 janvier 2010 à 03:45 (CET)

Pourquoi $\mathbb {A}$ et non pas $A$?

Je sais que ce n'est pas seulement sur cette page qu'on le fait, mais l'habitude d'indiquer un anneau par $\mathbb {A}$ et non pas simplement par $A$ (et pareil pour des corps $\mathbb {K}$) m'irrite énormément. Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer quelle est l'utilité de cette pédanterie ?

Voyons, en algèbre générale presque tout peut se cacher derrière une variable (c'est à dire une lettre ordinaire minuscule ou majuscule) : un nombre, un vecteur, un matrice, un groupe, une indéterminée, une catégorie, …, il suffit d'expliquer la nature de la variable au moment de son introduction. On n'est pas comme les physiciens qui ont besoin d'une petite flèche pas dessus la variable pour se rappeler que c'est un vecteur et non pas un scalaire. La seule chose qui est commune à ces utilisations, c'est que la variable est introduite parce qu'on ne veut pas se fixer sur une valeur ou structure particulière, mais parler de beaucoup de possibilités à la fois. Cependant, on utilise parfois des structures uniques, tels que les nombres naturels $\mathbb {N}$, entiers $\mathbb {Z}$, rationnels $\mathbb {Q}$, réels $\mathbb {R}$, ou complexes $\mathbb {C}$. Dans tous les cas il faut éviter la suggestion qu'il s'agit d'une chose variable, et j'ai toujours cru que c'est pour cette raison qu'on utilise une police distincte (grasse, voire creuse). La liste donnée n'est pas exhaustive, et il ne me gène pas si l'on écrit $\mathbb {H}$ pour les quaternions ou $\mathbb {A}$ pour les adèles (oui, oui) voire même $\mathbb {GL}$ pour le foncteur du groupe général linéaire, mais si on commence à utiliser cet alphabet pour des structures voulues variables, cela pervertit à mon avis la raison d'être même de l'alphabet. Marc van Leeuwen (d) 14 mars 2008 à 14:06 (CET)

Bug d'affichage au 6

bonjour, il y a un bug d'affichage dans la section 6: X \u2013 u. Je pense que ça vient de l'unicode. --Ludovic89 (d) 8 décembre 2008 à 11:53 (CET)

Justification du changement de nom

Beaucoup d'articles faisant usage du polynôme formel se limitent à un cadre plus simple, celui des anneaux commutatifs unitaires intègres. Des raisons didactiques justifient l'existence d'une construction uniquement dans ce contexte. Dans ce contexte, plus simple, un vocabulaire précis ainsi que certaines propriétés élémentaires doivent être établis pour rendre WP cohérent.

Ensuite, cette article va plus loin que la simple construction, plus de la moitié de l'article établit des propriétés de l'anneau. C'est d'ailleurs l'unique endroit à ma connaissance où l'on parle d'anneau non commutatif de polynômes. Le titre me semble donc mieux décrire l'article. Jean-Luc W (d) 24 décembre 2008 à 19:30 (CET)