Densité mélange

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En statistiques, on appelle densité mélange, ou loi mélange une fonction de densité qui est issue d'une combinaison convexe de plusieurs fonctions de densité.

Définition[modifier | modifier le code]

En prenant une fonction f(x,\theta), densité d'une variable aléatoire x paramétrée par \theta. Par exemple, si f est une loi normale, alors \theta est constitué de la moyenne et de la variance. Si on appelle \theta_1,\dots,\theta_K une famille de paramètres et \pi_1,\dots,\pi_K une famille de scalaires tels que

\sum_{k=1}^K\pi_k=1,

alors, la fonction g définie par

g(x,\theta_1,\dots,\theta_K)=\sum_{k=1}^K\pi_kf(x,\theta_k)

est la fonction de densité d'une loi mélange à K composantes.

On peut étendre cette définition au cas où le nombre des composantes est infini. En considérant un ensemble \Omega de paramètres, si on a

\int_\Omega \pi\left(\theta\right)d\theta=1,

alors, la fonction

g\left(x,\Omega\right)=\int_\Omega\pi(\theta)f(x,\theta)d\theta

est une densité mélange.

Densite2D.jpg

Par exemple, l'image suivante représente la fonction de densité d'un mélange gaussien à deux composantes de dimension 2.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Une densité mélange de densités est elle-même une densité. Cela est notamment dû au fait d'utiliser une combinaison convexe dans la définition (ce ne serait pas nécessairement le cas avec une combinaison linéaire quelconque).

Voir aussi[modifier | modifier le code]