Correspondance de Galois

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En mathématiques, une correspondance de Galois antitone est une généralisation, pour deux ordres partiels quelconques, de la correspondance entre sous-corps d'une extension galoisienne et sous-groupes de son groupe de Galois. Une correspondance de Galois isotone se définit de façon analogue, en inversant l'ordre sur le deuxième ensemble. Cette notion est reliée à celle d'opérateur de clôture.

Correspondance antitone[modifier | modifier le code]

Soient m_1:P\to Q et m_2:Q\to P des fonctions définies sur deux ensembles ordonnés (P,\le_P) et (Q,\le_Q). On vérifie facilement l'équivalence des deux définitions suivantes.

Première définition : (m_1,m_2) est une correspondance de Galois antitone si m_1 et m_2 sont décroissantes et si m_2\circ m_1 et m_1\circ m_2 sont extensives, c.-à-d. vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

p\le_Pm_2(m_1(p))\qquad\text{et}\qquad q\le_Qm_1(m_2(q))~.

Deuxième définition : (m_1,m_2) est une correspondance de Galois antitone si m_1 et m_2 vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

q\le_Qm_1(p)\Leftrightarrow p\le_Pm_2(q)~.

Correspondance isotone[modifier | modifier le code]

Avec les mêmes notations que précédemment, une correspondance isotone de (P,\le_P) vers (Q,\le_Q) est une correspondance antitone entre (P,\le_P) et l'ensemble ordonné (Q,\le_Q^{op}), où \le_Q^{op} désigne l'ordre opposé (ou « ordre dual ») de \le_Q. Autrement dit :

Première définition : (m_1,m_2) est une correspondance de Galois isotone si m_1 et m_2 sont croissantes et si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

p\le_Pm_2(m_1(p))\qquad\text{et}\qquad m_1(m_2(q))\le_Qq~.

Deuxième définition : (m_1,m_2) est une correspondance de Galois isotone si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

m_1(p)\le_Qq\Leftrightarrow p\le_Pm_2(q)~.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Soit (m_1,m_2) une correspondance de Galois comme ci-dessus (antitone ou isotone).

  • m_2\circ m_1 et m_1\circ m_2 sont croissantes.
  • m_2\circ m_1\circ m_2=m_2 (et m_1\circ m_2\circ m_1=m_1), si bien que m_2\circ m_1 et m_1\circ m_2 sont idempotentes.
  • m_2\circ m_1 est un opérateur de clôture sur (P,\le_P) (puisqu'elle est de plus extensive).
  • Dans le cas antitone, m_1\circ m_2 est de même un opérateur de clôture sur (Q,\le_Q).
  • Réciproquement, tout opérateur de clôture c sur un ensemble ordonné (P,\le_P) est de la forme m_2\circ m_1 pour une certaine correspondance de Galois[1], en choisissant par exemple pour Q l'image de c (muni de l'ordre induit ou de son opposé, selon qu'on souhaite construire une correspondance isotone ou antitone), pour m_1 la corestriction de c à Q, et pour m_2 l'injection canonique de Q dans P.

Note[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]