Correspondance de Galois

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En mathématiques, une correspondance de Galois antitone est une généralisation, pour deux ordres partiels quelconques, de la correspondance entre sous-corps d'une extension galoisienne et sous-groupes de son groupe de Galois. Une correspondance de Galois isotone se définit de façon analogue, en inversant l'ordre sur le deuxième ensemble. Cette notion est reliée à celle d'opérateur de clôture.

Correspondance antitone[modifier | modifier le code]

Soient et des fonctions définies sur deux ensembles ordonnés et . On vérifie facilement l'équivalence des deux définitions suivantes.

Première définition : est une correspondance de Galois antitone si et sont décroissantes et si et sont extensives, c.-à-d. vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

Deuxième définition : est une correspondance de Galois antitone si et vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

Correspondance isotone[modifier | modifier le code]

Avec les mêmes notations que précédemment, une correspondance isotone de vers est une correspondance antitone entre et l'ensemble ordonné , où désigne l'ordre opposé (ou « ordre dual ») de . Autrement dit :

Première définition : est une correspondance de Galois isotone si et sont croissantes et si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

Deuxième définition : est une correspondance de Galois isotone si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

Propriétés[modifier | modifier le code]

Soit une correspondance de Galois comme ci-dessus (antitone ou isotone).

  • et sont croissantes.
  • (et ), si bien que et sont idempotentes.
  • est un opérateur de clôture sur (puisqu'elle est de plus extensive).
  • Dans le cas antitone, est de même un opérateur de clôture sur .
  • Réciproquement, tout opérateur de clôture c sur un ensemble ordonné est de la forme pour une certaine correspondance de Galois[1], en choisissant par exemple pour Q l'image de c (muni de l'ordre induit ou de son opposé, selon qu'on souhaite construire une correspondance isotone ou antitone), pour la corestriction de c à Q, et pour l'injection canonique de Q dans P.

Note[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]