Contraction tensorielle

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En algèbre multilinéaire, la contraction est un procédé de calcul sur les tenseurs faisant intervenir la dualité. En coordonnées elle se représente de façon très simple en utilisant les notations d'Einstein et consiste à faire une somme sur un indice muet. Il est possible de contracter un tenseur unique de rang p en un tenseur de rang p-2, par exemple en calculant la trace d'une matrice. Il est possible également de contracter deux tenseurs, ce qui généralise la notion de produit matriciel.

Contraction pour un couple de tenseurs[modifier | modifier le code]

L'exemple le plus simple de contraction est le crochet de dualité. Si E est un espace vectoriel sur \R (ou n'importe quel corps K) et si E* est l'espace dual, alors la contraction est l'application bilinéaire

\langle\cdot\,,\cdot\rangle\colon E^*\otimes E\rightarrow \mathbb R

donnée par

 \langle \tilde a, \vec b\rangle = \tilde a (\vec b) .

En composantes, une telle contraction s'écrit

 \tilde a (\vec b) = a_\gamma b^\gamma

ce qui, selon les conventions de sommation d'Einstein, est un raccourci pour la somme

 a_\gamma b^\gamma = \sum_{i=1}^n a_ib^i

dont le résultat est un scalaire.

La forme bilinéaire \langle\cdot\,,\cdot\rangle est appelée le tenseur de Kronecker et est noté \delta\in T^1_1(E), où T^1_1(E) est l'espace des tenseurs mixtes (une fois covariant et une fois contravariant). Ainsi \delta(\tilde a, \vec b)=\tilde a (\vec b). Dans une base \left(\vec{e_i}\right)_{i=1,...,n} de base duale (e^i)_{i=1,...,n} (voir Vecteur contravariant, covariant et covecteur), la matrice de \delta est la matrice identité I=[\delta^i_j] où les \delta^i_j sont les symboles de Kronecker : \delta^i_i=1 et \delta^i_j=0 si i\ne j. Autrement dit \delta = \sum_{i=1}^n \vec e_i \otimes e^i. Et on retrouve bien \delta(\tilde a, \vec b)=\sum_{i=1}^n \vec e_i(\tilde a)e^i(\vec b) = \sum_{i=1}^n a_ib^i. L'introduction du tenseur de Kronecker suffit à assurer le caractère intrinsèque de la contraction.

Généralisation : contraction d'un tenseur[modifier | modifier le code]

Pour un simple produit tensoriel S = x_1\otimes\dots\otimes x_m\otimes y^1\otimes\dots\otimes y^n\in E^{\otimes m} \otimes E^{*\;\otimes n} de m vecteurs avec n formes linéaires, on peut contracter n'importe quel vecteur avec n'importe quelle forme :

 [S]^i_j = y^j(x_i) \; x_1\otimes\dots\otimes x_{i-1}\otimes x_{i+1}\otimes\dots\otimes x_m\otimes y^1\otimes\dots\otimes y^{j-1}\otimes y^{j+1}\otimes\dots\otimes y^n

Cette définition est compatible avec les règles de calcul du produit tensoriel et s'étend par linéarité à un tenseur T quelconque (combinaison linéaire finie de produits tensoriels simples comme S).

Le calcul pratique en composantes s'exécute en donnant les mêmes valeurs aux deux indices à contracter puis en sommant, tout en gardant les autres indices libres. Par exemple pour un tenseur (2,2) dans un espace de dimension 4, une des contractions est, avec la Convention de sommation d'Einstein :

 T^{\alpha\beta}_{\gamma\beta} = T^{\alpha 0}_{\gamma 0} + T^{\alpha 1}_{\gamma 1} + T^{\alpha 2}_{\gamma 2} + T^{\alpha 3}_{\gamma 3} = U^\alpha_\gamma

Contraction d'un couple de tenseurs[modifier | modifier le code]

Une contraction d'un tenseur T avec le tenseur T' est une contraction de leur produit tensoriel T\otimes T', faisant intervenir un indice de T et un indice de T′ .

Ainsi les matrices peuvent être vues comme des tenseurs de type (1,1). Le produit P de deux matrices M et N est une contraction

 M^\alpha_\beta N^\beta_\gamma = P^\alpha_\gamma .

Contraction avec un tenseur métrique[modifier | modifier le code]

La contraction avec un tenseur métrique permet d'étendre les propriétés de dualité. Le résultat, appelé transformation contraco, permet de « monter ou descendre » les indices. Il est possible, ensuite, d'effectuer de nouvelles contractions.

Par exemple en géométrie riemannienne, cette possibilité est utilisée pour définir le tenseur de Ricci et la courbure scalaire à partir du tenseur de courbure.