Classe de Pontryagin

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En mathématiques, les classes de Pontryagin sont des classes caracteristiques associées aux fibrés vectoriels réels, nommées d'après Lev Pontryagin. Les classes de Pontryagin appartiennent aux groupes de cohomologie de degré un multiple de quatre.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit E un fibré vectoriel réel au-dessus de M. La k-ième classe de Pontryagin pk(E) est définie par :

pk(E) = pk(E, ℤ) = (−1)k c2k(E ⊗ ℂ) ∈ H4k(M, ℤ),

  • c2k(E ⊗ ℂ) est la 2k-ième classe de Chern du complexifié E ⊗ ℂ = EiE de E ;
  • H4k(M, ℤ) est le 4k-ième groupe de cohomologie de M à coefficients entiers.

La classe totale de Pontryagin est définie par

La classe de Pontryagin rationnelle pk(E, ℚ) est définie comme étant l'image de pk(E) dans H4k(M, ℚ), le 4k-ième groupe de cohomologie de M à coefficients rationnels.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Pour deux fibrés vectoriels réels E et F au-dessus de M,

est le cup-produit.

C'est-à-dire, pour les classes de Pontryagin pk,

...
  • Si E est un fibré vectoriel réel orienté de dimension 2k, de classe d'Euler e(E) ∈ H2k(M, ℤ), alors

Applications[modifier | modifier le code]

Classes de Pontryagin d'une variété[modifier | modifier le code]

Les classes de Pontryagin d'une variété lisse sont définies comme étant les classes de Pontryagin de son fibré tangent.

Sergueï Novikov a montré en 1966 que si deux variéts sont homéomorphes alors leurs classes de Pontryagin rationneles sont égales.

Classes de Pontryagin et courbure[modifier | modifier le code]

Nombres de Pontryagin[modifier | modifier le code]

Les nombres de Pontryagin sont des invariants topologiques d'une variété lisse. Ils sont définis à l'aide des classes de Pontryagin :

soit M une variété lisse de dimension 4n et k1, k2, ..., km des entiers naturels tels que k1+k2+...+km = n.

Les nombres de Pontryagin sont définis par :

pk est la k-ième classe de Pontryagin et [M] est la classe fondamentale (en) de M.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]