Classe d'Euler

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En topologie algébrique, la classe d’Euler est une classe caractéristique d'un fibré vectoriel réel orienté. Elle mesure l’obstruction à trouver une section d’un fibré qui ne s’annule pas. Cette notion trouve son origine dans la théorie de l'homologie.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit ξ un fibré vectoriel réel orienté de rang sur une variété compacte orientée de dimension . Une section générique de ξ est transverse à la section nulle. Par conséquent, le lieu de ses zéros est une sous-variété compacte sans bord orientée de dimension -, elle possède une classe d’homologie [] qui ne dépend pas du choix de la section. C’est la classe d’Euler de ξ en homologie.

Exemple[modifier | modifier le code]

Si ξ = est le fibré tangent de , un champ de vecteurs générique, alors [] compte le nombre de zéros avec signes de s. D’après un théorème de H. Hopf, ce nombre coïncide avec la caractéristique d’Euler-Poincaré de B, d’où le nom de classe d’Euler.

Bibliographie[modifier | modifier le code]