Binôme (mathématique)

Un binôme, terme datant de 1554 (du latin bis et du grec nomos, part, division), est une expression algébrique composée de deux termes (monômes) séparés par le signe + ou –.Polynome

Exemples

$a+b~,\qquad 3\tan ^{2}\phi -{\frac {b^{2}}{e^{i\pi \theta }}}~,\qquad \ldots$

Opérations sur des binômes simples

Factorisation

Le binôme $a^{2}-b^{2}$ peut être factorisé comme un produit de deux autres binômes :

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.

C'est un cas particulier de la formule : $a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum _{k=0}^{n}a^{k}\,b^{n-k}$.

Produit d'une paire de binômes linéaires

Le produit d'une paire de binômes linéaires $ax+b$ et $cx+d$ est un trinôme (en) :

$(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+axd+bcx+bd=acx^{2}+(ad+bc)x+bd$.

Puissance d'un binôme

Un binôme élevé à la puissance n, représenté par

$(a+b)^{n}$,

peut être développé à l'aide de la formule du binôme de Newton ou, de façon équivalente, à l'aide du triangle de Pascal. Par exemple, le carré $(p+q)^{2}$ peut être développé en mettant au carré le premier terme, en ajoutant le double du produit des deux termes et en ajoutant le carré du deuxième terme, ce qui donne $p^{2}+2pq+q^{2}$.

Une application simple de la formule du binôme est la formule qui génère les triplets pythagoriciens : si $x=p^{2}-q^{2},\quad y=2pq\quad {\text{et}}\quad z=p^{2}+q^{2}$, alors $x^{2}+y^{2}=z^{2}$.

Voir aussi

Article connexe

Polynôme

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Binomial (polynomial) » (voir la liste des auteurs).