Application sous-linéaire

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Soit un espace vectoriel sur . On dit qu'une application est sous-linéaire[1] lorsque :

  • pour tous vecteurs et de , (on dit que est sous-additive),
  • pour tout vecteur et tout , [2] (on dit que est positivement homogène[3]).

Les applications sous-linéaires sont convexes.

Comme exemples d'applications sous-linéaires, citons les semi-normes ou, plus généralement, toute jauge d'un convexe contenant l'origine.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cf. (en) Eric Schechter (en), Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, (lire en ligne), p. 313-314. Dans le cas particulier , on trouve une définition équivalente dans (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, coll. « Grundlehren Text Editions », (1re éd. 2001) (ISBN 978-3-540-42205-1), p. 124 et dans (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms I: Fundamentals, Springer, coll. « Grundlehren Text Editions », (ISBN 3-540-56850-6), p. 198.
  2. Pour (avec la convention ), cette condition implique .
  3. Ou « positivement homogène de degré 1 ».