Sous-additivité

En mathématiques, une fonction f est dite sous-additive lorsque, pour tous les éléments x et y, f(x + y) ≤ f(x) + f(y).

Cela n'a de sens que si l'ensemble de définition et l'ensemble d'arrivée de la fonction sont munis chacun d'une addition +, et si l'ensemble d'arrivée est muni d'une relation d'ordre ≤.

Des exemples de telles fonctions sont les fonctions puissances $\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+},\ x\mapsto x^{a}$ d'exposant $a\in \left[0,1\right]$, parmi lesquelles la fonction racine n-ième pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ : ${\sqrt[{n}]{x+y}}\leq {\sqrt[{n}]{x}}+{\sqrt[{n}]{y}}$.

Plus généralement, toute fonction concave $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ telle que $f(0)\geq 0$ est sous-additive.

Articles connexes

• Lemme sous-additif
• Inégalité triangulaire
• Norme (mathématiques)
• Semi-norme