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La règle de Cramer (ou méthode de Cramer) est un théorème en algèbre linéaire qui donne la solution d'un système de Cramer, c'est-à-dire un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues et dont le déterminant de la matrice de coefficients est non nul, sous forme de quotients de déterminants.
En calcul, la méthode est moins efficace que la méthode de résolution de Gauss pour des grands systèmes (à partir de quatre équations) dont les coefficients dans le premier membre sont explicitement donnés. Cependant, elle est d'importance théorique, car elle donne une expression explicite pour la solution du système, et elle s'applique dans des systèmes où par exemple les coefficients du premier membre dépendent de paramètres, ce qui peut rendre la méthode de Gauss inapplicable.
où la matrice, carrée, contient les coefficients des inconnues, le vecteur colonne contient ces inconnues et le vecteur colonne contient les membres de droite des équations du système ; les coefficients et les inconnues font partie d'un même corps commutatif.
Le théorème affirme alors que le système admet une unique solution si et seulement si sa matrice est inversible (déterminant non nul), et cette solution est alors donnée par :
où est la matrice carrée formée en remplaçant la k-ième colonne de par le vecteur colonne .
Un système carré (i.e. avec autant d'équations que d'inconnues) est dit de Cramer si le déterminant de sa matrice est non nul.
Lorsque le système (toujours carré) n'est pas de Cramer (i.e. lorsque le déterminant de A est nul) :
si le déterminant d'une des matrices est non nul, alors le système n'a pas de solution ;
la réciproque est fausse : il peut arriver que le système n'ait pas de solution bien que les déterminants soient tous nuls. Un exemple en est donné par :
Le nombre d'opérations à effectuer pour résoudre un système linéaire à l'aide de la règle de Cramer dépend de la méthode utilisée pour calculer le déterminant. Une méthode efficace pour les calculs de déterminant est l'élimination de Gauss-Jordan (complexité polynomiale). Cependant, la règle de Cramer demandera d'avoir recours à un nombre de calculs de déterminants égal à la taille du système, une élimination de Gauss-Jordan appliquée directement au système résout donc le problème plus efficacement.
Démonstrations
Si A est inversible, calculons la solution X (dont on sait qu'elle existe et est unique).
Notons C1, … , Cn les colonnes de A. L'égalité AX = Λ se réécritPar linéarité du déterminant suivant la k-ième colonne, on en déduitoù Bk,j désigne la matrice A dans laquelle la k-ième colonne est remplacée par Cj. Or pour tout j ≠ k, la matrice Bk,j a deux colonnes égales donc son déterminant est nul. Il reste alorsd'où le résultat, en divisant par det(A) qui par hypothèse est non nul.
La matrice inverseA−1 est donnée par la formule de Laplaceoù est la transposée de la comatrice de A. Exprimons chacune des coordonnées de l'unique solution X = A−1Λ, pour k variant de 1 à n :À nouveau d'après la formule de Laplace, la somme au numérateur est le développement de par rapport à sa k-ième colonne donc
Remarque
La formule Cramer permet, inversement, de démontrer celle de Laplace.[réf. souhaitée]
Exemples
Système d'ordre 2
Si , le système
a pour unique solution :
Exemple numérique :
Système d'ordre 3
Posons :
Le système admet une solution unique si et seulement si :
Ou plus simplement :
Pour que le système n'admette aucune solution, il suffit que :
Dans le cas
on peut avoir soit une infinité de solutions, soit aucune.
Références
↑J.-P. Marco et L. Lazzarini (dir.), Mathématiques L1 : Cours complet avec fiches de révision, 1 000 tests et exercices corrigés, Pearson, , 2e éd. (lire en ligne), p. 479.