En mathématiques , la formule de Faulhaber , nommée en l'honneur de Johann Faulhaber , exprime la somme
∑
k
=
1
n
k
p
=
1
p
+
2
p
+
3
p
+
⋯
+
n
p
(
pour
n
∈
N
et
p
∈
N
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}\qquad \left({\mbox{pour }}n\in \mathbb {N} {\text{ et }}p\in \mathbb {N} \right)}
par une fonction polynomiale de degré p + 1 en n [ 1] , les coefficients impliquant les nombres de Bernoulli :
B
2
=
1
6
,
B
4
=
−
1
30
,
B
6
=
1
42
…
{\displaystyle B_{2}={\tfrac {1}{6}},\quad B_{4}=-{\tfrac {1}{30}},\quad B_{6}={\tfrac {1}{42}}\ldots }
∑
k
=
1
n
k
p
=
1
p
+
1
(
n
p
+
1
+
1
2
(
p
+
1
)
n
p
+
1
6
(
p
+
1
2
)
n
p
−
1
−
1
30
(
p
+
1
4
)
n
p
−
3
+
1
42
(
p
+
1
6
)
n
p
−
5
+
…
+
(
p
+
1
)
B
p
n
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\left(n^{p+1}+{\frac {1}{2}}(p+1){n^{p}}+{\frac {1}{6}}{p+1 \choose 2}{n^{p-1}}-{\frac {1}{30}}{p+1 \choose 4}{n^{p-3}}+{\frac {1}{42}}{p+1 \choose 6}{n^{p-5}}+\ldots +(p+1)B_{p}n\right)}
.Les coefficients
(
p
+
1
j
)
{\displaystyle \textstyle {p+1 \choose j}}
qui apparaissent sont les coefficients binomiaux (aussi notés
C
p
+
1
j
{\displaystyle \mathrm {C} _{p+1}^{j}}
).
Énoncé de la formule
Dans la convention la plus usuelle, les nombres de Bernoulli sont
B
0
=
1
,
B
1
=
−
1
2
,
B
2
=
1
6
,
B
3
=
0
,
B
4
=
−
1
30
…
{\displaystyle B_{0}=1,\quad B_{1}=-{\tfrac {1}{2}},\quad B_{2}={\tfrac {1}{6}},\quad B_{3}=0,\quad B_{4}=-{\tfrac {1}{30}}\quad \dots }
Dans l'article, nous suivrons une convention vue moins souvent,
B
1
=
+
1
2
{\displaystyle B_{1}=+{\tfrac {1}{2}}}
, tous les autres nombres de Bernoulli restant comme ci-dessus.
La formule de Faulhaber s'écrit (avec
p
∈
N
{\displaystyle p\in \mathbb {N} }
et
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
) :
∑
k
=
1
n
k
p
=
1
p
+
1
∑
j
=
0
p
(
p
+
1
j
)
B
j
n
p
+
1
−
j
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}}
(avec
B
1
=
1
2
{\displaystyle B_{1}={\tfrac {1}{2}}}
plutôt que
−
1
2
{\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}
).Faulhaber ne connaissait pas la formule sous cette forme, qui a été découverte par Jacques Bernoulli , et qui est un cas particulier de la formule d’Euler-MacLaurin . Il connaissait au moins l'expression dans les 17 premiers cas, et le fait que lorsque l'exposant est impair, alors la somme est une fonction polynomiale de la somme dans le cas particulier où l'exposant est 1. Dans ses calculs, il doit manipuler la factorielle n ! jusqu'à 24!, ce qui illustre son remarquable talent de calculateur, qu'il partage avec son correspondant Ludolph van Ceulen . Il est remarquable surtout par son anticipation des sommes multiples discrètes à une époque où l'analyse balbutie. Il utilise la k -symétrie, et donne aussi certaines généralisations remarquables[ 2] .
Exemples
1
0
+
2
0
+
3
0
+
⋯
+
n
0
=
n
{\displaystyle 1^{0}+2^{0}+3^{0}+\cdots +n^{0}=n}
1
+
2
+
3
+
⋯
+
n
=
n
2
+
n
2
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle 1+2+3+\cdots +n={n^{2}+n \over 2}={n(n+1) \over 2}}
1
2
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
n
2
=
2
n
3
+
3
n
2
+
n
6
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
{\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={2n^{3}+3n^{2}+n \over 6}={n(n+1)(2n+1) \over 6}}
1
3
+
2
3
+
3
3
+
⋯
+
n
3
=
n
4
+
2
n
3
+
n
2
4
=
n
2
(
n
+
1
)
2
4
{\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}={n^{4}+2n^{3}+n^{2} \over 4}={n^{2}(n+1)^{2} \over 4}}
1
4
+
2
4
+
3
4
+
⋯
+
n
4
=
6
n
5
+
15
n
4
+
10
n
3
−
n
30
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
(
3
n
2
+
3
n
−
1
)
30
{\displaystyle 1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}={6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n \over 30}={n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1) \over 30}}
1
5
+
2
5
+
3
5
+
⋯
+
n
5
=
2
n
6
+
6
n
5
+
5
n
4
−
n
2
12
=
n
2
(
n
+
1
)
2
(
2
n
2
+
2
n
−
1
)
12
{\displaystyle 1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={2n^{6}+6n^{5}+5n^{4}-n^{2} \over 12}={n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1) \over 12}}
1
6
+
2
6
+
3
6
+
⋯
+
n
6
=
6
n
7
+
21
n
6
+
21
n
5
−
7
n
3
+
n
42
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
(
3
n
4
+
6
n
3
−
3
n
+
1
)
42
{\displaystyle 1^{6}+2^{6}+3^{6}+\cdots +n^{6}={6n^{7}+21n^{6}+21n^{5}-7n^{3}+n \over 42}={n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1) \over 42}}
Une autre forme
On peut voir la formule énoncée avec des termes allant de 0 à n – 1 plutôt que de 1 à n . Dans ce cas, la seule chose qui change est que nous prenons B 1 = −1/2 plutôt que +1/2, donc le terme de deuxième plus haut degré dans chaque cas possède un signe moins plutôt qu'un signe plus.
∑
k
=
0
n
−
1
k
p
=
1
p
+
1
∑
j
=
0
p
(
p
+
1
j
)
B
j
n
p
+
1
−
j
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}}
(avec
B
1
=
−
1
2
{\displaystyle B_{1}=-{\tfrac {1}{2}}}
).
La formule est valide pour tous entiers naturels p et n (y compris pour p = 0 , avec 00 = 1 ) :
0
0
+
1
0
+
2
0
+
3
0
+
⋯
+
(
n
−
1
)
0
=
n
{\displaystyle 0^{0}+1^{0}+2^{0}+3^{0}+\cdots +(n-1)^{0}=n}
0
+
1
+
2
+
3
+
⋯
+
(
n
−
1
)
=
n
2
−
n
2
{\displaystyle 0+1+2+3+\cdots +(n-1)={n^{2}-n \over 2}}
0
+
1
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
(
n
−
1
)
2
=
2
n
3
−
3
n
2
+
n
6
{\displaystyle 0+1+2^{2}+3^{2}+\cdots +(n-1)^{2}={2n^{3}-3n^{2}+n \over 6}}
0
+
1
+
2
3
+
3
3
+
⋯
+
(
n
−
1
)
3
=
n
4
−
2
n
3
+
n
2
4
{\displaystyle 0+1+2^{3}+3^{3}+\cdots +(n-1)^{3}={n^{4}-2n^{3}+n^{2} \over 4}}
0
+
1
+
2
4
+
3
4
+
⋯
+
(
n
−
1
)
4
=
6
n
5
−
15
n
4
+
10
n
3
−
n
30
{\displaystyle 0+1+2^{4}+3^{4}+\cdots +(n-1)^{4}={6n^{5}-15n^{4}+10n^{3}-n \over 30}}
0
+
1
+
2
5
+
3
5
+
⋯
+
(
n
−
1
)
5
=
2
n
6
−
6
n
5
+
5
n
4
−
n
2
12
{\displaystyle 0+1+2^{5}+3^{5}+\cdots +(n-1)^{5}={2n^{6}-6n^{5}+5n^{4}-n^{2} \over 12}}
Relation avec les polynômes de Bernoulli
On peut écrire (pour p et n entiers naturels) :
S
n
p
=
∑
k
=
0
n
k
p
=
B
p
+
1
(
n
+
1
)
−
B
p
+
1
(
0
)
p
+
1
{\displaystyle S_{n}^{p}=\sum _{k=0}^{n}k^{p}={\frac {B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}}
,où
B
p
(
X
)
{\displaystyle B_{p}(X)}
est le polynôme de Bernoulli de rang p .
B
0
(
X
)
=
1
{\displaystyle B_{0}(X)=1}
B
1
(
X
)
=
X
−
1
2
{\displaystyle B_{1}(X)=X-{\tfrac {1}{2}}}
B
2
(
X
)
=
X
2
−
X
+
1
6
{\displaystyle B_{2}(X)=X^{2}-X+{\tfrac {1}{6}}}
B
3
(
X
)
=
X
3
−
3
2
X
2
+
1
2
X
{\displaystyle B_{3}(X)=X^{3}-{\tfrac {3}{2}}X^{2}+{\tfrac {1}{2}}X}
On a
B
p
(
0
)
=
B
p
{\displaystyle B_{p}(0)=B_{p}}
, nombre de Bernoulli de rang p (avec
B
1
(
0
)
=
−
1
2
{\displaystyle B_{1}(0)=-{\tfrac {1}{2}}}
).
Ceci provient du fait que
B
p
+
1
(
X
+
1
)
−
B
p
+
1
(
X
)
=
(
p
+
1
)
X
p
{\displaystyle B_{p+1}(X+1)-B_{p+1}(X)=(p+1)X^{p}}
(1).
En effet par télescopage
A
=
∑
k
=
0
n
(
B
p
+
1
(
k
+
1
)
−
B
p
+
1
(
k
)
)
=
B
p
+
1
(
n
+
1
)
−
B
p
+
1
(
0
)
{\displaystyle A=\sum _{k=0}^{n}(B_{p+1}(k+1)-B_{p+1}(k))=B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}
,
et par (1)
A
=
(
p
+
1
)
∑
k
=
0
n
k
p
=
(
p
+
1
)
S
n
p
{\displaystyle A=(p+1)\sum _{k=0}^{n}k^{p}=(p+1)S_{n}^{p}}
, d'où la formule.
Forme symbolique
Dans le calcul ombral classique, on traite formellement les indices j dans une suite B j comme s'ils étaient des exposants, c’est-à-dire que, dans ce cas, on applique la formule du binôme de Newton , ce qui donne
∑
k
=
1
n
k
p
=
1
p
+
1
∑
j
=
0
p
(
p
+
1
j
)
B
j
n
p
+
1
−
j
=
1
p
+
1
∑
j
=
0
p
(
p
+
1
j
)
B
j
n
p
+
1
−
j
=
(
B
+
n
)
p
+
1
−
B
p
+
1
p
+
1
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B^{j}n^{p+1-j}={(B+n)^{p+1}-B^{p+1} \over p+1}}
.
Dans le calcul ombral « moderne », on considère la forme linéaire T sur l'espace vectoriel des polynômes de variable b donnée par
T
(
b
j
)
=
B
j
{\displaystyle T(b^{j})=B_{j}}
.
On peut alors écrire
∑
k
=
1
n
k
p
=
1
p
+
1
∑
j
=
0
p
(
p
+
1
j
)
B
j
n
p
+
1
−
j
=
1
p
+
1
∑
j
=
0
p
(
p
+
1
j
)
T
(
b
j
)
n
p
+
1
−
j
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}T(b^{j})n^{p+1-j}}
=
1
p
+
1
T
(
∑
j
=
0
p
(
p
+
1
j
)
b
j
n
p
+
1
−
j
)
=
T
(
(
b
+
n
)
p
+
1
−
b
p
+
1
p
+
1
)
.
{\displaystyle ={1 \over p+1}T\left(\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}b^{j}n^{p+1-j}\right)=T\left({(b+n)^{p+1}-b^{p+1} \over p+1}\right).}
Polynômes de Faulhaber
La locution « polynômes de Faulhaber » est utilisée par certains auteurs pour faire référence à une autre entité que la suite de polynômes donnée ci-dessus.
Faulhaber a observé (sans en donner de preuve) que si p est impair, alors
1
p
+
2
p
+
3
p
+
⋯
+
n
p
{\displaystyle 1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}}
est une fonction polynomiale de
y
=
1
+
2
+
3
+
⋯
+
n
=
n
2
+
n
2
{\displaystyle y=1+2+3+\cdots +n={n^{2}+n \over 2}}
.
En particulier
1
3
+
2
3
+
3
3
+
⋯
+
n
3
=
y
2
{\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=y^{2}}
1
5
+
2
5
+
3
5
+
⋯
+
n
5
=
4
y
3
−
y
2
3
{\displaystyle 1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={4y^{3}-y^{2} \over 3}}
1
7
+
2
7
+
3
7
+
⋯
+
n
7
=
6
y
4
−
4
y
3
+
y
2
3
{\displaystyle 1^{7}+2^{7}+3^{7}+\cdots +n^{7}={6y^{4}-4y^{3}+y^{2} \over 3}}
(et donc
1
5
+
2
5
+
3
5
+
⋯
+
n
5
+
1
7
+
2
7
+
3
7
+
⋯
+
n
7
=
2
y
4
{\displaystyle 1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}+1^{7}+2^{7}+3^{7}+\cdots +n^{7}=2y^{4}}
)
1
9
+
2
9
+
3
9
+
⋯
+
n
9
=
16
y
5
−
20
y
4
+
12
y
3
−
3
y
2
5
{\displaystyle 1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots +n^{9}={16y^{5}-20y^{4}+12y^{3}-3y^{2} \over 5}}
1
11
+
2
11
+
3
11
+
⋯
+
n
11
=
16
y
6
−
32
y
5
+
34
y
4
−
20
y
3
+
5
y
2
3
{\displaystyle 1^{11}+2^{11}+3^{11}+\cdots +n^{11}={16y^{6}-32y^{5}+34y^{4}-20y^{3}+5y^{2} \over 3}}
Quelques auteurs appellent ces polynômes
P
(
y
)
{\displaystyle P(y)}
, avec
y
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle y={\frac {n(n+1)}{2}}}
, « polynômes de Faulhaber » ; Donald Knuth a donné des démonstrations de ces résultats (et d'autres les généralisant encore) en n'utilisant que des méthodes que Faulhaber maîtrisait[ 2] .
Expression utilisant les nombres de Stirling de seconde espèce.
Pour tout
p
⩾
1
{\displaystyle p\geqslant 1}
, on a la relation :
∑
k
=
0
n
k
p
=
∑
i
=
1
p
S
(
p
,
i
)
i
+
1
(
n
+
1
)
i
+
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{p}=\sum _{i=1}^{p}{\frac {S(p,i)}{i+1}}(n+1)_{i+1}}
où les
S
(
p
,
i
)
{\displaystyle S(p,i)}
sont les nombres de Stirling de seconde espèce (nombre de partitions en i parties d'un ensemble à p éléments) et
(
n
+
1
)
i
+
1
=
(
n
+
1
)
(
n
)
.
.
.
(
n
+
1
−
i
)
{\displaystyle (n+1)_{i+1}=(n+1)(n)...(n+1-i)}
(symbole de Pochhammer ).
Par exemple
∑
k
=
0
n
k
=
1
2
(
n
+
1
)
n
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k={\frac {1}{2}}(n+1)n}
, et
∑
k
=
0
n
k
2
=
1
2
(
n
+
1
)
n
+
1
3
(
n
+
1
)
n
(
n
−
1
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {1}{2}}(n+1)n+{\frac {1}{3}}(n+1)n(n-1)}
.
Relations de récurrence liant ces sommes
Relation de récurrence forte (Pascal 1655)
Les sommes
S
n
p
=
∑
k
=
0
n
k
p
{\displaystyle S_{n}^{p}=\sum _{k=0}^{n}k^{p}}
peuvent se calculer de proche en proche grâce à la relation :
(
p
+
1
)
S
n
p
=
(
n
+
1
)
p
+
1
−
∑
q
=
0
p
−
1
(
p
+
1
q
)
S
n
q
{\displaystyle (p+1)S_{n}^{p}=(n+1)^{p+1}-\sum _{q=0}^{p-1}{\binom {p+1}{q}}S_{n}^{q}}
.En effet, par télescopage :
∑
k
=
0
n
(
(
k
+
1
)
p
+
1
−
k
p
+
1
)
=
(
n
+
1
)
p
+
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=(n+1)^{p+1}}
, et par la formule du binôme ,
∑
k
=
0
n
(
(
k
+
1
)
p
+
1
−
k
p
+
1
)
=
∑
k
=
0
n
∑
q
=
0
p
(
p
+
1
q
)
k
q
=
∑
q
=
0
p
(
p
+
1
q
)
∑
k
=
0
n
k
q
=
(
p
+
1
)
S
n
p
+
∑
q
=
0
p
−
1
(
p
+
1
q
)
S
n
q
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=\sum _{k=0}^{n}\sum _{q=0}^{p}{\binom {p+1}{q}}k^{q}=\sum _{q=0}^{p}{\binom {p+1}{q}}\sum _{k=0}^{n}k^{q}=(p+1)S_{n}^{p}+\sum _{q=0}^{p-1}{\binom {p+1}{q}}S_{n}^{q}}
, d'où la formule annoncée.
Notons qu'ici
S
n
0
=
0
0
+
1
0
+
2
0
+
3
0
+
⋯
+
n
0
=
n
+
1
{\displaystyle S_{n}^{0}=0^{0}+1^{0}+2^{0}+3^{0}+\cdots +n^{0}=n+1}
;
alors,
2
S
n
1
=
(
n
+
1
)
2
−
(
n
+
1
)
=
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle 2S_{n}^{1}=(n+1)^{2}-(n+1)=n(n+1)}
,
puis
3
S
n
2
=
(
n
+
1
)
3
−
(
n
+
1
)
−
3
n
(
n
+
1
)
/
2
=
n
+
1
2
(
2
n
2
+
4
n
+
2
−
2
−
3
n
)
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
2
{\displaystyle 3S_{n}^{2}=(n+1)^{3}-(n+1)-3n(n+1)/2={\frac {n+1}{2}}(2n^{2}+4n+2-2-3n)={\frac {n(n+1)(2n+1)}{2}}}
, etc...
Relation de récurrence forte sur les
S
n
2
p
+
1
{\displaystyle S_{n}^{2p+1}}
Elle s'écrit
2
(
p
+
1
)
S
n
2
p
+
1
=
(
n
(
n
+
1
)
)
p
+
1
−
2
∑
1
⩽
q
⩽
p
/
2
(
p
+
1
2
q
+
1
)
S
n
2
p
+
1
−
2
q
{\displaystyle 2(p+1)S_{n}^{2p+1}=(n(n+1))^{p+1}-2\sum _{1\leqslant q\leqslant p/2}{\binom {p+1}{2q+1}}S_{n}^{2p+1-2q}}
.La démonstration est similaire à la précédente :
Démonstration
Par télescopage :
A
n
=
∑
k
=
1
n
(
(
k
(
k
+
1
)
)
p
+
1
−
(
k
(
k
−
1
)
)
p
+
1
)
=
(
n
(
n
+
1
)
)
p
+
1
{\displaystyle A_{n}=\sum _{k=1}^{n}((k(k+1))^{p+1}-(k(k-1))^{p+1})=(n(n+1))^{p+1}}
,
et par la formule du binôme ,
A
n
=
∑
k
=
1
n
k
p
+
1
∑
q
=
0
p
+
1
(
p
+
1
q
)
(
1
−
(
−
1
)
q
)
)
k
p
+
1
−
q
=
∑
k
=
1
n
k
p
+
1
∑
0
⩽
2
q
+
1
⩽
p
+
1
p
+
1
(
p
+
1
2
q
+
1
)
2
k
p
+
1
−
2
q
−
1
{\displaystyle A_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{p+1}\sum _{q=0}^{p+1}{\binom {p+1}{q}}(1-(-1)^{q}))k^{p+1-q}=\sum _{k=1}^{n}k^{p+1}\sum _{0\leqslant 2q+1\leqslant p+1}^{p+1}{\binom {p+1}{2q+1}}2k^{p+1-2q-1}}
,
donc
A
n
=
∑
0
⩽
2
q
+
1
⩽
p
+
1
∑
k
=
1
n
(
p
+
1
2
q
+
1
)
2
k
2
p
+
1
−
2
q
=
∑
0
⩽
q
⩽
p
/
2
(
p
+
1
2
q
+
1
)
2
S
n
2
p
+
1
−
2
q
=
2
(
p
+
1
)
S
n
2
p
+
1
+
2
∑
1
⩽
q
⩽
p
/
2
(
p
+
1
2
q
+
1
)
S
n
2
p
+
1
−
2
q
{\displaystyle A_{n}=\sum _{0\leqslant 2q+1\leqslant p+1}\sum _{k=1}^{n}{\binom {p+1}{2q+1}}2k^{2p+1-2q}=\sum _{0\leqslant q\leqslant p/2}{\binom {p+1}{2q+1}}2S_{n}^{2p+1-2q}=2(p+1)S_{n}^{2p+1}+2\sum _{1\leqslant q\leqslant p/2}{\binom {p+1}{2q+1}}S_{n}^{2p+1-2q}}
, d'où la formule annoncée.
En faisant
p
=
1
{\displaystyle p=1}
on obtient par exemple directement que
4
S
n
3
=
(
n
(
n
+
1
)
)
2
{\displaystyle 4S_{n}^{3}=(n(n+1))^{2}}
.
Et cette relation permet de montrer que
S
n
2
p
+
1
{\displaystyle S_{n}^{2p+1}}
est un polynôme de degré
p
+
1
{\displaystyle p+1}
en
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle n(n+1)}
.
Expression matricielle des formules de Faulhaber[ 3]
Pour les sommes quelconques
De manière similaire au calcul de la relation de Pascal ci-dessus, en calculant de deux façons la somme
∑
k
=
1
n
(
k
i
−
(
k
−
1
)
i
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(k^{i}-(k-1)^{i})}
, on obtient la relation :
∑
j
=
1
i
(
−
1
)
i
+
j
(
i
j
−
1
)
S
n
j
−
1
=
n
i
{\displaystyle \sum _{j=1}^{i}(-1)^{i+j}{\binom {i}{j-1}}S_{n}^{j-1}=n^{i}}
.
Ces relations pour i de 1 à p constituent un système triangulaire dont sont solutions
S
n
0
,
S
n
1
,
⋯
,
S
n
p
−
1
{\displaystyle S_{n}^{0},S_{n}^{1},\cdots ,S_{n}^{p-1}}
.
Si
A
p
{\displaystyle A_{p}}
est la matrice carrée triangulaire inférieure d'ordre p définie par
A
p
(
i
,
j
)
=
(
−
1
)
i
+
j
(
i
j
−
1
)
{\displaystyle A_{p}(i,j)=(-1)^{i+j}{\binom {i}{j-1}}}
, le système s'écrit
A
p
(
S
n
0
S
n
1
⋯
S
n
p
−
1
)
=
(
n
n
2
⋯
n
p
)
{\displaystyle A_{p}{\begin{pmatrix}S_{n}^{0}\\S_{n}^{1}\\\cdots \\S_{n}^{p-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\\cdots \\n^{p}\end{pmatrix}}}
; on en déduit
(
S
n
0
S
n
1
⋯
S
n
p
−
1
)
=
A
p
−
1
(
n
n
2
⋯
n
p
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{n}^{0}\\S_{n}^{1}\\\cdots \\S_{n}^{p-1}\end{pmatrix}}=A_{p}^{-1}{\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\\cdots \\n^{p}\end{pmatrix}}}
.
Par exemple,
A
7
=
(
1
0
0
0
0
0
0
−
1
2
0
0
0
0
0
1
−
3
3
0
0
0
0
−
1
4
−
6
4
0
0
0
1
−
5
10
−
10
5
0
0
−
1
6
−
15
20
−
15
6
0
1
−
7
21
−
35
35
−
21
7
)
{\displaystyle A_{7}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&0&0&0&0&0\\1&-3&3&0&0&0&0\\-1&4&-6&4&0&0&0\\1&-5&10&-10&5&0&0\\-1&6&-15&20&-15&6&0\\1&-7&21&-35&35&-21&7\\\end{pmatrix}}}
, et
A
7
−
1
=
(
1
0
0
0
0
0
0
1
2
1
2
0
0
0
0
0
1
6
1
2
1
3
0
0
0
0
0
1
4
1
2
1
4
0
0
0
−
1
30
0
1
3
1
2
1
5
0
0
0
−
1
12
0
5
12
1
2
1
6
0
1
42
0
−
1
6
0
1
2
1
2
1
7
)
{\displaystyle A_{7}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0\\{1 \over 6}&{1 \over 2}&{1 \over 3}&0&0&0&0\\0&{1 \over 4}&{1 \over 2}&{1 \over 4}&0&0&0\\{-{1 \over 30}}&0&{1 \over 3}&{1 \over 2}&{1 \over 5}&0&0\\0&{-{1 \over 12}}&0&{5 \over 12}&{1 \over 2}&{1 \over 6}&0\\{1 \over 42}&0&{-{1 \over 6}}&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&{1 \over 7}\end{pmatrix}}}
.
On retrouve bien
S
n
0
=
n
{\displaystyle S_{n}^{0}=n}
(attention, ici la somme démarre à k = 1),
S
n
1
=
(
n
+
n
2
)
/
2
{\displaystyle S_{n}^{1}=(n+n^{2})/2}
, etc.
La matrice
A
p
{\displaystyle A_{p}}
est la matrice obtenue en tronquant la diagonale principale et alternant les signes de la matrice de Pascal triangulaire inférieure.
Pour les sommes à exposants impairs
La relation ci-dessus sur les sommes à exposants impairs peut aussi s'écrire :
∑
(
i
+
1
)
/
2
⩽
j
⩽
i
2
(
i
2
j
−
i
−
1
)
S
n
2
j
−
1
=
(
n
(
n
+
1
)
)
i
{\displaystyle \sum _{{(i+1)}/2\leqslant j\leqslant i}2{\binom {i}{2j-i-1}}S_{n}^{2j-1}=(n(n+1))^{i}}
.
Ces relations pour i de 1 à p constituent un système triangulaire dont sont solutions
S
n
1
,
S
n
3
,
⋯
,
S
n
2
p
−
1
{\displaystyle S_{n}^{1},S_{n}^{3},\cdots ,S_{n}^{2p-1}}
.
Si
B
p
{\displaystyle B_{p}}
est la matrice carrée triangulaire inférieure d'ordre p définie par
B
p
(
i
,
j
)
=
2
(
i
2
j
−
i
−
1
)
{\displaystyle B_{p}(i,j)=2{\binom {i}{2j-i-1}}}
, le système s'écrit
B
p
(
S
n
1
S
n
3
⋯
S
n
2
p
−
1
)
=
(
n
(
n
+
1
)
n
2
(
n
+
1
)
2
⋯
n
p
(
n
+
1
)
p
)
{\displaystyle B_{p}{\begin{pmatrix}S_{n}^{1}\\S_{n}^{3}\\\cdots \\S_{n}^{2p-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n(n+1)\\n^{2}(n+1)^{2}\\\cdots \\n^{p}(n+1)^{p}\end{pmatrix}}}
; on en déduit
(
S
n
1
S
n
3
⋯
S
n
2
p
−
1
)
=
B
p
−
1
(
n
(
n
+
1
)
n
2
(
n
+
1
)
2
⋯
n
p
(
n
+
1
)
p
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{n}^{1}\\S_{n}^{3}\\\cdots \\S_{n}^{2p-1}\end{pmatrix}}=B_{p}^{-1}{\begin{pmatrix}n(n+1)\\n^{2}(n+1)^{2}\\\cdots \\n^{p}(n+1)^{p}\end{pmatrix}}}
.
Par exemple,
B
4
=
2
(
1
0
0
0
0
2
0
0
0
1
3
0
0
0
4
4
)
{\displaystyle B_{4}=2{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&4&4\\\end{pmatrix}}}
, et
B
4
−
1
=
(
1
2
0
0
0
0
1
4
0
0
0
−
1
12
1
6
0
0
1
12
−
1
6
1
8
)
{\displaystyle B_{4}^{-1}={\begin{pmatrix}{1 \over 2}&0&0&0\\0&{1 \over 4}&0&0\\0&{-1 \over {12}}&{1 \over 6}&0\\0&{1 \over {12}}&{-1 \over 6}&{1 \over 8}\end{pmatrix}}}
.
On retrouve bien
S
n
1
=
n
(
n
+
1
)
/
2
{\displaystyle S_{n}^{1}=n(n+1)/2}
,
S
n
3
=
n
2
(
n
+
1
)
2
4
{\displaystyle S_{n}^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}}
,
S
n
5
=
n
3
(
n
+
1
)
3
6
−
n
2
(
n
+
1
)
2
12
{\displaystyle S_{n}^{5}={{n^{3}(n+1)^{3}} \over 6}-{\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{12}}}
etc.
La matrice
B
p
{\displaystyle B_{p}}
est le double de la matrice obtenue en tronquant une diagonale descendante sur deux de la matrice de Pascal triangulaire inférieure.
Bibliographie
(en) John Horton Conway et Richard Guy , The Book of Numbers , Springer Verlag , 1998 (ISBN 0-387-97993-X ) , p. 107
(en) Eric Weisstein , CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , Chapman & Hall/CRC, 2003 (ISBN 1-58488-347-2 ) , p. 2331
(de) Johann Faulhaber, Academia Algebrae . Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden , Augsburg, Johann Ulrich Schönig, 1631
Notes et références
↑ Nulle en n = 0 (cf. « Somme vide ») donc produit de n par une fonction polynomiale de degré p .
↑ a et b (en) Donald E. Knuth , « Johann Faulhaber and sums of powers », Math. Comp. , vol. 61, 1993 , p. 277-294 (lire en ligne ) .
↑ (en) Giorgio Pietrocola, « On polynomials for the calculation of sums of powers of successive integers and Bernoulli numbers deduced from the Pascal's triangle », ? , 2017 (lire en ligne )
Lien externe
(en) Eric W. Weisstein , « Faulhaber's Formula », sur MathWorld