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Les trois premières fonctions de Bessel sphérique de première espèce jn (x ) Les trois premières fonctions de Bessel sphérique de deuxième espèce yn (x ) En analyse , les fonctions de Bessel sphériques sont des fonctions spéciales construites à partir des fonctions de Bessel classiques et qui interviennent dans certains problèmes possédant une symétrie sphérique .
Elles sont définies par :
j
n
(
x
)
=
π
2
x
J
n
+
1
2
(
x
)
,
{\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\pi \over 2x}}J_{n+{1 \over 2}}(x),}
y
n
(
x
)
=
π
2
x
Y
n
+
1
2
(
x
)
=
(
−
1
)
n
+
1
π
2
x
J
−
n
−
1
2
(
x
)
.
{\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\pi \over 2x}}Y_{n+{1 \over 2}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\pi \over 2x}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).}
En particulier,
j
0
{\displaystyle j_{0}}
sinus cardinal :
j
0
(
x
)
=
s
i
n
c
(
x
)
=
sin
(
x
)
x
.
{\displaystyle j_{0}(x)={\rm {sinc}}(x)={\sin(x) \over x}.}
On peut également définir, sur le même principe, les fonctions de Hankel sphériques
h
n
(
1
)
(
x
)
=
π
2
H
n
+
1
2
(
1
)
(
x
)
x
=
j
n
(
x
)
+
i
y
n
(
x
)
,
{\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\pi \over 2}}{H_{n+{1 \over 2}}^{(1)}(x) \over {\sqrt {x}}}=j_{n}(x)+{\rm {i}}y_{n}(x),}
h
n
(
2
)
(
x
)
=
π
2
H
n
+
1
2
(
2
)
(
x
)
x
=
j
n
(
x
)
−
i
y
n
(
x
)
.
{\displaystyle h_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\pi \over 2}}{H_{n+{1 \over 2}}^{(2)}(x) \over {\sqrt {x}}}=j_{n}(x)-{\rm {i}}y_{n}(x).}
Propriétés On peut définir les fonctions de Bessel sphériques par la formule de Rayleigh :
j
n
(
x
)
=
(
−
x
)
n
(
1
x
d
d
x
)
n
sin
(
x
)
x
,
{\displaystyle j_{n}(x)=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\sin(x) \over x},}
y
n
(
x
)
=
−
(
−
x
)
n
(
1
x
d
d
x
)
n
cos
(
x
)
x
.
{\displaystyle y_{n}(x)=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\cos(x) \over x}.}
Les fonctions génératrices des fonctions de Bessel sphériques sont :
∑
n
=
0
+
∞
t
n
n
!
j
n
−
1
(
x
)
=
cos
(
x
2
−
2
x
t
)
x
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(x)={\frac {\cos({\sqrt {x^{2}-2xt}})}{x}},}
∑
n
=
0
+
∞
(
−
t
)
n
n
!
y
n
−
1
(
x
)
=
sin
(
x
2
+
2
x
t
)
x
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-t)^{n}}{n!}}y_{n-1}(x)={\frac {\sin({\sqrt {x^{2}+2xt}})}{x}}.}
Ces fonctions sont les solutions de la partie radiale de l'équation de Helmholtz en coordonnées sphériques , obtenue par séparation des variables :
x
2
d
2
y
d
x
2
+
2
x
d
y
d
x
+
(
x
2
−
n
(
n
+
1
)
)
y
=
0.
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-n(n+1))y=0.}
Articles connexes Liens externes 
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