Constante de Gelfond

En mathématiques, la constante de Gelfond est le nombre réel transcendant e^π, c'est-à-dire e à la puissance π.

Sa transcendance fut démontrée en 1929 par Alexandre Gelfond. C'est un cas particulier de son théorème de 1934. En effet, les nombres –1 (différent de 0 et 1) et –i (non rationnel) sont algébriques, or

${\rm {e}}^{\pi }=({\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi })^{-{\rm {i}}}=(-1)^{-{\rm {i}}}$

(En effet, e^π = e^iπ×(–i) et e^iπ = –1).

Cette constante fut mentionnée dans le septième problème de Hilbert. Une constante reliée est la constante de Gelfond-Schneider, 2^√2.

Valeur numérique

Sous forme décimale, la constante est égale à

${\rm {e}}^{\pi }\approx 23,140692632.$

Sa valeur numérique peut être trouvée avec l'itération

$k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}}}}}$

où $k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

Après N itérations, l'approximation est donnée par

$\left({\frac {k_{N}}{4}}\right)^{\frac {-1}{2^{N}}}.$

Développement décimal remarquable

Le nombre

${\rm {e}}^{\pi }-\pi =19,99909998\ldots$

est un nombre presque entier.

Voir aussi

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Gelfond's Constant », sur MathWorld

Bibliographie

(en) Samuel W. Gilbert, The Riemann Hypothesis and the Roots of the Riemann Zeta Function, BookSurge, 2009, 140 p. (ISBN 978-1-4392-1638-5, lire en ligne), p. 93

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gelfond's constant » (voir la liste des auteurs).