Ceci est la version actuelle de cette page, en date du 23 mars 2022 à 17:10 et modifiée en dernier par Esprit Fugace(discuter | contributions). L'URL présente est un lien permanent vers cette version.
Illustration de la courbure moyenne avec les plans des courbures principales.
En mathématiques, on appelle courbure moyenne d'une surface la moyenne des courbures minimale et maximale. Elle est notée (ou encore Km, ou parfois H). C'est un nombre réel, dont le signe dépend du choix fait pour orienter la surface.
S'il est relativement simple de définir le rayon de courbure d'une courbe plane, pour une surface les choses se compliquent. On définit alors un analogue comme suit : en un point, on définit un axe, le vecteur normal à la surface. On imagine ensuite un plan tournant sur cet axe. Ce plan intersecte la surface considérée en une courbe. Il permet donc de définir une infinité de rayons de courbure.
Ces rayons définissent des courbures (inverse du rayon) maximale et minimale (en tenant compte du signe, c’est-à-dire de l’orientation par rapport au vecteur normal). On les appelle les courbures principales, et les plans contenant ces courbures sont représentés ci-contre. Les courbures principales sont donc les courbures, au point considéré, des deux courbes rouges intersections de ces plans et de la surface. À partir de ces deux courbures, plusieurs notions de courbure totale peuvent être définies ; les plus importantes sont la courbure de Gauss et la courbure moyenne.
La courbure moyenne est définie comme la moyenne des deux courbures principales, soit
.
La notion de courbure moyenne a été définie par Sophie Germain lors de son étude des vibrations d'une membrane.
Supposons que la surface soit donnée par une équation, où f est une fonction de classe . Notons en indice les variables par rapport auxquelles les dérivées sont calculées. Alors, la courbure moyenne au point de paramètre vaut[1] :
Démonstration
Soit le paramétrage de la surface, supposée régulière. Une base du plan tangent est donnée par les deux vecteurs et . Un vecteur normal à la surface est donné par le vecteur unitaire colinéaire à , à savoir :
.
Pour calculer la courbure, on utilise le fait qu'elle est égale à la demi-trace de l'endomorphisme de Weingarten, et que cet endomorphisme est celui qui envoie sur , et sur . On vérifiera alors que :
On obtient un résultat comparable pour en permutant les indices x et y.
L'endomorphisme de Weingarten a donc pour matrice, dans la base :
La demi-trace de cette matrice donne la formule annoncée.
On reconnaît au numérateur l'expression utilisée dans l'équation aux dérivées partielles caractérisant les surfaces minimales, ces dernières étant de courbure moyenne nulle.
Soit un paramétrage de la surface, supposée régulière. Une base du plan tangent est donnée par et . Soient et deux vecteurs du plan tangent en un point de la surface, et soit X et Y les composantes de ces deux vecteurs dans la base précédente. La première forme fondamentale donne l'expression dans cette base du produit scalaire des deux vecteurs :
La deuxième forme fondamentale est la forme quadratique associée à l'endomorphisme symétrique de Weingarten W, dont les deux valeurs propres sont les courbures principales de la surface au point considéré.
Par conséquent, si est un vecteur propre de l'endomorphisme de Weingarten, de valeur propre , on, a, pour tout :
Cette relation étant vraie pour tout , on a donc :
et donc, la matrice est non inversible, puisqu'elle admet la colonne Y non nulle comme élément de son noyau. Son déterminant donne l'équation vérifiée par les courbures principales, à savoir :
On en tire la demi-somme des deux racines qui n'est autre que la courbure moyenne cherchée.