(p, q)-shuffle
En mathématiques, pour deux entiers naturels p et q, un (p, q)-shuffle[1] est[2],[3] un élément σ du groupe symétrique Sp+q des permutations de l'ensemble {1, …, p + q}[4], tel que
Les (p, q)-shuffles sont en bijection avec — et parfois définis comme[3],[5] — les partitions de l'ensemble [p + q – 1] = {0, …, p + q – 1} en deux sous-ensembles complémentaires μ, ν à p et q éléments, numérotés en croissant :
Leur nombre est donc égal au coefficient binomial
et la signature de la permutation σ associée à la partition (μ, ν) est égale à[3]
Utilisations
[modifier | modifier le code]Le produit extérieur de deux formes multilinéaires alternées, une p-forme et une q-forme, peut être défini comme une somme indexée par l'ensemble des (p, q)-shuffles et pondérée par leurs signatures.
Le shuffle, ou « produit de mélange », ou « application d'Eilenberg-MacLane[6] », défini de façon analogue, intervient dans une démonstration explicite du théorème d'Eilenberg-Zilber, comme quasi-isomorphisme réciproque de l'application d'Alexander-Whitney[3],[5],[6].
Le même type de sommes permet de munir l'algèbre tensorielle d'un espace vectoriel d'une structure de bigèbre.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Ce nom anglais est une allusion au brassage de cartes (en), justifiée en détail par (en) Saunders Mac Lane, Homology, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (no 114), , 4e éd. (1re éd. 1963), 422 p. (ISBN 978-3-540-58662-3, lire en ligne), p. 243.
- (en) Charles Weibel (en), An Introduction to Homological Algebra, CUP, , 450 p. (ISBN 978-0-521-55987-4, lire en ligne), p. 181.
- Mac Lane 1994, p. 243.
- Une variante est de permuter l'ensemble {0, …, p + q – 1}, comme (en) J. Peter May, Simplicial Objects in Algebraic Topology, UCP, (1re éd. van Nostrand, 1967), 161 p. (ISBN 978-0-226-51181-8, lire en ligne), p. 17.
- (en) Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (no 301), (1re éd. 1992), p. 47-48.
- May 1993, p. 133.