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Dans le cas d'un système optique plongé dans l'air ou le vide, la vergence peut être définie simplement comme l'inverse de la distance focale image.
Pour un système optique séparant des milieux dont les indices de réfraction, n et n' dans le sens de la propagation de la lumière, sont différents, la vergence est définie à partir des distances focales objet f et image f' par :
De manière plus générale, en prenant en compte les systèmes optiques constitués d'un nombre impair de miroirs, m étant le nombre d'éléments catoptriques, la vergence s'exprime[2] :
où désigne l'indice du matériau utilisé, l'indice du milieu, la distance focale image, et les rayons de courbure des deux dioptres et la distance entre les sommets des dioptres.
Dans le cas simplifié d'une lentille mince, c'est-à-dire dont l'épaisseur est négligeable face aux rayons de courbure, plongée dans l'air, la relation se simplifie de la façon suivante.
Formule de Gullstrand
La formule de Gullstrand, énoncée par le suédois Allvar Gullstrand, donne la vergence d'un système centré en fonction des vergences et des deux systèmes centrés qui le composent, de l’indice du milieu qui les sépare et de l'interstice qui sépare leurs plans principaux[3]
.
Démonstration
La figure ci-dessous fait apparaître les notations utilisées pour la démonstration. Le choix de l'illustration avec deux systèmes centrés convergents est plus commode pour la démonstration, mais celle-ci serait la même avec des systèmes quelconques et avec une position quelconque pour l'objet. Les points notés par la lettre sont les points principaux, les points notés sont les foyers.
Dans les triangles et , .
Dans les triangles et , .
Or et donc .
On peut alors exprimer la distance focale image :
.
En procèdent de façon similaire, on pourrait obtenir la distance focale objet :
.
Selon la définition de la vergence et compte tenu du fait que le rayon lumineux traverse successivement trois milieu d'indice , et ,
et .
La vergence de l'ensemble doit satisfaire la définition :
Si on observe que .
On reconnait l'expression de pour la première partie et dans la deuxième partie de l'expression, reste à exprimer et .
et
Ce qui fait apparaître
,
puis enfin :
.
Dans le cas de lentilles minces, la distance est égale à la distance qui sépare les centres optiques. De plus, si les deux lentilles minces sont accolées, est nul et on a : .