Utilisateur:El Caro/Livre sur la science de la transposition et de la réduction

L'Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison^[1] (Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala) est un livre historique de mathématiques écrit en arabe au IX^e siècle par le mathématicien perse Al-Khwarizmi. Dans cet ouvrage, Al-Khwarizmi pose les fondations de l'algèbre moderne en étant le premier à étudier systématiquement la résolution des équations du premier et du second degré. Les successeurs d'Al-Khwarizmi ont perpétué et amplifié son œuvre dans d'autres ouvrages qui portaient souvent le même titre.

Contexte[modifier | modifier le code]

Contenu[modifier | modifier le code]

Dans ce traité, Al-Khwarizmi est le premier à étudier systématiquement des groupes d'équations.

Il traite de la résolution complète des équations du premier et du second degré, qui peuvent être écrite sous la forme moderne

ax^{2}+bx+c=0

,

avec $a$ , $b$ et $c$ trois nombres quelconques, $a$ étant éventuellement nul. Il considère trois types de nombres : les nombres (que nous appellerions des constantes, notés $c$ ci-dessus) qu'il désigne du nom de l'unité monétaire dirham, les racines (nombres solutions, le mot racine signifiant « ce qui est caché » et qu'il faut mettre à jour, que nous noterons $x$ ) et les carrés des racines (donc $x^{2}$ ). Les notations modernes sont introduites dans cet article pour en faciliter la lecture par un lecteur contemporain, le Livre sur la science de la transposition et de la réduction ne contenait aucune notation de ce type (qui n'avait pas encore été inventée), les opérations étant toutes décrites par des phrases.

Cependant, les mathématiciens arabes de l'époque ne connaissaient pas les nombres négatifs, ce qui le conduit à distinguer six cas dans lesquels les paramètres $a$ , $b$ et $c$ sont tous positifs :

les carrés égalent les racines : $ax^{2}=bx$ ;
les carrés égalent les nombres : $ax^{2}=c$ ;
les racines égalent les nombres : $bx=c$ ;
les carrés et les racines égalent les nombres : $ax^{2}+bx=c$ ;
les carrés et les nombres égalent les racines : $ax^{2}+c=bx$ ;
les racines et les nombres égalent les carrés : $bx+c=ax^{2}$ .

Toue équation premier ou du second degré peut se ramener à l'un des six cas donnés ci-dessus avec des coefficients positifs. Pour cela, Al-Khwarizmi utilise les deux techniques qui ont donné leur nom au livre : al-jabr et al-muqabala. En français moderne al-jabr et al-muqabala sont deux aspects de ce qu'on appelle transposition^[2].

Al-jabr[modifier | modifier le code]

Al-jabr signifie réduction, au sens de « réduction d'une fracture »^[3], sa transcription en latin a donné algebra puis algèbre. L'al-jabr consiste donc à réduire l'équation en éliminant les termes négatifs par addition de ces termes dans ses deux membres.

Exemple :

x² = 40x − 4x² est transformé, par al-jabr, en x² + 4x² = 40x, puis 5x² = 40x.

Al-muqabala[modifier | modifier le code]

Éliminer les termes négatifs par al-jabr ne suffit pas pour obtenir un des six cas canoniques.

Exemple :

x² + 5 = 40x + 4x² contient des carrés dans les deux membres et tous les coefficients sont pourtant positifs.

Al-muqabala consiste à soustraire une quantité positive afin que des quantités de même type (dirham, racine ou carré) ne puissent se trouver à la fois dans les deux membres de l'équation.

Exemple :

Dans x² + 5 = 40x + 4x² on soustrait x² pour obtenir 5 = 40x + 3x².

Le problème de la traduction[modifier | modifier le code]

La totale nouveauté des concepts étudiés dans ce livre peut se mesurer à la difficulté à traduire son titre. Le dictionnaire Trésor de la langue française informatisé donne « science des restitutions et des comparaisons » tout en affirmant que al-jabr signifie réduction^[4]. Quant à Dahan-Dalmédico et Pfeiffer, elles se contentent d'un « précis sur le calcul de al-jabr et al-muqabala »^[5].

Les héritiers[modifier | modifier le code]

Sources et références[modifier | modifier le code]

Éditions critiques[modifier | modifier le code]

(fr) Robert de Chester. Algèbre d’Al-Khwarismi. Traductions et commentaires (depuis le latin) de Jean-Pierre Levet. 4 fascicules. Cahiers d’histoire des mathématiques et d’épistémologie, IREM de Poitiers, 1997.
(la)(en)Fac-similé d'une traduction en latin (1145) par Robert de Chester avec traduction et commentaires en anglais (Google Books) par Louis Charles Karpinski (1915).
(en)(ar) Fac-similé d'une traduction en anglais (1831) par Frederic Rosen (Google Books), avec commentaires du traducteur et copie du texte arabe.

Liens externes[modifier | modifier le code]

(fr) Al-Khwarizmi sur le site Chronomath, pour une première approche.
(en) Biographie d'Al-Khwarizmi sur le site de McTutor.
(fr) D’Al Khwarizmi à Cardan, les débuts de l’Algèbre, sur le site de l'IREM de Rennes. Avec un tableau donnant une traduction d'une démonstration d'Al-Khwarizmi et, en regard, les notations modernes.
(fr) Interview vidéo d'Ahmed Djebbar sur le site de l'École normale supérieure. Une vue d'ensemble de l'algèbre arabe médiévale en six parties, dont deux étudient spécifiquement le traité d'algèbre d'Al-Khwarizmi.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

L'algèbre arabe : Genèse d'un art, Ahmed Djebbar

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Titre admis par « la plupart des spécialistes » d'après A. Djebbar (cf. vidéo citée en lien externe) par exemple l'IREM.
↑ Dictionnaire Littré en ligne.
↑ Le terme àlgebra a été conservé en ce sens en espagnol comme l'indique le dictionnaire de l'Académie royale espagnole.
↑ Trésor de la langue française informatisé article "algèbre", partie étymologie.
↑ Une histoire des mathématiques, p 84.

[1] Titre admis par « la plupart des spécialistes » d'après A. Djebbar (cf. vidéo citée en lien externe) par exemple l'IREM.

[2] Dictionnaire Littré en ligne.

[3] Le terme àlgebra a été conservé en ce sens en espagnol comme l'indique le dictionnaire de l'Académie royale espagnole.

[4] Trésor de la langue française informatisé article "algèbre", partie étymologie.

[5] Une histoire des mathématiques, p 84.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]