Théorème de Meyer

Le théorème de Meyer est un résultat de théorie des nombres, qui établit que toute forme quadratique Q à au moins cinq variables sur le corps des rationnels représente zéro (de façon non triviale) dès que Q est non définie, c'est-à-dire que si l'équation Q(x) = 0 possède au moins une solution non nulle réelle alors elle en possède une rationnelle (donc aussi une entière, en évacuant les dénominateurs).

Ce théorème se déduit aujourd'hui du théorème de Hasse-Minkowski (démontré ultérieurement) et du lemme suivant :

Une forme quadratique rationnelle à au moins cinq variables représente zéro sur le corps ℚ_p des nombres p-adiques, pour tout p.

Le théorème de Meyer est optimal quant au nombre de variables : il existe des formes quadratiques rationnelles non définies en quatre variables qui ne représentent pas zéro. Une famille d'exemples est donnée par

Q(x₁, x₂, x₃, x₄) = x₁² + x₂² – p(x₃² + x₄²),

où p est un nombre premier congru à 3 modulo 4. On peut le démontrer par descente infinie, en utilisant que si une somme de deux carrés parfaits est divisible par un tel p alors chacun des deux carrés l'est.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) A. Meyer, « Mathematische Mittheilungen », Vierteljahrschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, vol. 29,‎ 1884, p. 209-222 (lire en ligne)
(en) John Milnor et Dale Husemöller (de), Symmetric Bilinear Forms, Springer, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (en) » (n^o 73), 1973 (ISBN 3-540-06009-X), Zbl 0292.10016
Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]
(en) J. W. S. Cassels, Rational Quadratic Forms, London/New York/San Francisco, Academic Press, coll. « London Mathematical Society Monographs » (n^o 13), 1978, 413 p. (ISBN 0-12-163260-1), Zbl 0395.10029

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Meyer's theorem » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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