Théorème de Kneser (combinatoire)

En combinatoire additive, le théorème de Kneser, nommé d'après Martin Kneser, est un énoncé sur les sommes d'ensembles dans les groupes abéliens.

Énoncé

Soient A et B deux parties finies non vides d'un groupe abélien G et H le sous-groupe (fini) des périodes de A + B :

$H=\{g\in G~|~g+(A+B)=(A+B)\},$

alors :

$(*)\quad |A+B|\geq |A+H|+|B+H|-|H|,$

ce qui entraîne : |A + B| ≥ |A| + |B| – |H| ; en particulier si |A + B| ≤ |A| + |B| – 2 alors A + B est périodique, i.e. possède des périodes non nulles.

De plus, si l'inégalité (✲) est stricte, alors |A + B| est même supérieur ou égal à |A + H| + |B + H|.

Notes et références

• (en) Terence Tao et Van H. Vu, Additive Combinatorics, CUP, 2010, 532 p. (ISBN 978-0-521-13656-3, lire en ligne), p. 200, Theorem 5.5
• (en) Melvyn Nathanson, Additive Number Theory : Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, Springer, coll. « GTM » (n^o 165), 1996, 296 p. (ISBN 978-0-387-94655-9, lire en ligne), p. 109-132

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kneser's theorem (combinatorics) » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème de Cauchy-Davenport
• Théorème de Freiman
• Théorème de Mann

Lien externe

(en) Hamidoune’s Freiman-Kneser theorem for nonabelian groups, 12 mars 2011, sur le blog de Terence Tao