Théorème de de Gua

Tétraèdre trirectangle en O.

En mathématiques, le théorème de De Gua est une extension du théorème de Pythagore à la géométrie dans l'espace. Il a été énoncé par René Descartes et Johann Faulhaber dès 1622. De Gua le démontre en 1783 en utilisant les formules de Heron d'Alexandrie.

Énoncé

Soit O,A,B,C un tétraèdre tri-rectangle en O.

Le carré de l'aire de la face ABC est la somme des carrés des aires des trois autres faces.

$A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}$

Démonstration

Notons a,b,c les longueurs respectives des arêtes OA,OB,OC

Considérons le volume intérieur découpé par le tétraèdre, il est égal à abc/6=c/3$A_{\color {blue}ABO}$=b/3$A_{\color {green}ACO}$=a/3$A_{\color {red}BCO}$ mais aussi à h/3$A_{ABC}$ où h désigne la hauteur associée à la face ABC.

Comme le vecteur $\scriptstyle {\overrightarrow {n}}=(bc)^{2}{\overrightarrow {OA}}+(ac)^{2}{\overrightarrow {OB}}+(ab)^{2}{\overrightarrow {OC}}$ est normal au plan ABC, cette hauteur vaut $\scriptstyle h={<{\overrightarrow {OA}}|{\overrightarrow {n}}> \over ||{\overrightarrow {n}}||}$

On a donc, en égalant les volumes : ${\frac {abc}{6}}={\frac {1}{3}}{\frac {abc}{\sqrt {(bc)^{2}+(ac)^{2}+(ab)^{2}}}}A_{ABC}$. Soit en simplifiant $4A_{ABC}^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2}$ ; la formule demandée.

Extension

La formule s'étend aux dimensions supérieures, ce que remarque Descartes pour la dimension 4, dans ses notes dès 1619/1623.

Une démonstration de ce cas général se trouve dans le numéro 6 de l'American Monthly 2006.