Théorie descriptive des ensembles

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La théorie descriptive des ensembles est une branche des mathématiques s'intéressant aux ensembles « définissables ». Son principal but est de classifier ces ensembles par complexité. Elle a de nombreux liens avec la théorie des ensembles et a des applications dans de nombreux domaines.

Origines de la théorie descriptive des ensembles[modifier | modifier le code]

Historiquement, les premières questions de la théorie descriptive des ensembles sont apparues suite à la découverte d'une erreur dans une démonstration de Lebesgue[1]. Celui-ci voulait montrer le résultat suivant : si \scriptstyle f:\R^2\to\R^2 est borélienne telle que pour tout réel x, il existe un unique réel y tel que f(x,y)=0, alors la fonction qui à chaque x associe ce y est borélienne. L'étape fausse de la démonstration était que Lebesgue affirmait que la projection d'un borélien est borélienne, ce qui est faux. Souslin (en) s'en rendit compte et qualifia les projections de boréliens d'ensembles analytiques (en).

Uniformisation[modifier | modifier le code]

On commença ensuite à s'intéresser à la notion d'uniformisation : étant donné un sous-ensemble A du plan \scriptstyle X\times Y, peut on trouver une fonction « suffisamment régulière » dont l'ensemble de définition soit \pi_X(A) et telle que \forall x\in\pi_X(A), (x,f(x))\in A ?

La réponse est non, même pour les fermés du plan. Ceci dit de nombreuses conditions ont été trouvés au début du XXe siècle (par exemple, que A soit à section dénombrable).

Complexité[modifier | modifier le code]

On cherche aussi à trouver une hiérarchie précise des ensembles définissables (d'où le nom de théorie descriptive des ensembles), ces questions étant liées à la théorie des jeux (jeu de séparation, jeu de Banach-Mazur (en)[2])…

Théorie descriptive effective[modifier | modifier le code]

Après la Seconde Guerre mondiale s'est aussi développée une branche très importante : la théorie descriptive effective des ensembles. Sous l'impulsion des travaux de Turing s'est posée la question des ensembles définissables « pour un ordinateur ». On aboutit à une hiérarchie tout aussi riche que celle de la théorie classique, et cette approche a permis de démontrer de nombreux résultats.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Srivastava, A Course on Borel Sets.
  2. Kechris, Classical Descriptive Set Theory, ch. 21

Voir aussi[modifier | modifier le code]