Théorèmes de König (mécanique)

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Les deux théorèmes de König concernant la mécanique sont dus à Johann Samuel König (allemand né à Büdinger en 1712, mort à Amerongen aux Pays-Bas en 1757). Ils permettent d'exprimer le moment cinétique (ou angulaire) et l'énergie cinétique d'un système de points matériels sous des formes plus facilement interprétables physiquement.

Notion de référentiel barycentrique[modifier | modifier le code]

Les deux théorèmes se démontrent en faisant intervenir un référentiel particulier : le référentiel barycentrique (ou référentiel du centre de masse), noté (R*).

Définition[modifier | modifier le code]

« (R*) est le référentiel lié au centre d'inertie G, en mouvement de translation par rapport à (R) »

Propriétés de (R*)[modifier | modifier le code]

Remarque importante : bien que (R*) soit par définition en translation par rapport au référentiel d'étude (R), il n'est pas en général un référentiel galiléen. Pour que (R*) soit galiléen, il faudrait que (R) le soit et que le mouvement de(R*) par rapport à (R) soit rectiligne et uniforme.
De façon générale, les moments cinétiques du système en deux points O et O' sont liés par la relation : \vec{L_{O}}=\vec{L_{O'}}+\vec{OO'}\wedge \vec{P} (voir moment cinétique). Comme par définition dans (R*) \vec{P^{*}}=\vec{0}, le moment cinétique du système dans (R*) est indépendant du point où on le calcule : \vec{L_{O}^{*}}=\vec{L_{O'}^{*}}=\vec{L^{*}}.
\vec{L^{*}} est aussi appelé moment cinétique propre (ou interne) du système.

Par ailleurs, d'après l'expression générale du moment cinétique d'un système, \vec{L_{G}}=\sum_{i} \left (\vec{GM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}\right ), or (composition des vitesses entre (R) et (R*)) \vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}, d'où :
\vec{L_{G}}=\left (\sum_{i} m_{i}\vec{GM_{i}}\right )\wedge \vec{v_{G}}+\sum_{i}\left (\vec{GM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )=\sum_{i}\left (\vec{GM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right ), d'après la définition du centre de masse.
Comme par ailleurs \sum_{i}\left (\vec{GM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )\equiv \vec{L^{*}}, il en résulte la propriété fondamentale suivante : \vec{L_{G}}=\vec{L^{*}}, autrement dit le moment cinétique propre du système, dans le référentiel barycentrique (R*) associé à (R) s'identifie avec le moment cinétique par rapport à G évalué dans (R).

Enfin, il est possible de définir dans (R*) l'énergie cinétique propre du système : E_{k}^{*}\equiv \frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}v_{i}^{*2}.

Premier théorème concernant le moment cinétique[modifier | modifier le code]

Théorème — Avec les notations précédentes, le premier théorème de König se met sous la forme :

\vec{L_{O}}=\vec{OG}\wedge M\vec{v_{G/R}}+\vec{L^{*}}, (1)

Interprétation physique : En d'autres termes, le moment cinétique d'un système par rapport à un point O est la somme de deux termes :

Démonstration : d'après l'expression générale du moment cinétique en O dans le référentiel (R), \vec{L_{O}}=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}\right ) et la composition des vitesses entre (R) et (R*)) \vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}} ((R) et (R*) étant en translation), il vient :
\vec{L_{O}}=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\wedge m_{i}\left (\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G/R}}\right )\right )=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )+\left (\sum_{i} m_{i}\vec{OM_{i}}\right )\wedge \vec{v_{G/R}}, comme \vec{L^{*}}\equiv \sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right ) et que (définition du centre de masse) \left (\sum_{i} m_{i}\vec{OM_{i}}\right )=M\vec{OG}, le premier théorème de König (1) s'obtient aussitôt.

Deuxième théorème concernant l'énergie cinétique[modifier | modifier le code]

Théorème — Avec les notations précédentes, le second théorème de König se met sous la forme
E_{k}=\frac{1}{2}Mv_{G}^{2}+E_{k}^{*}, (2)

Interprétation physique : En d'autres termes, l'énergie cinétique d'un système matériel est la somme de deux termes :

Démonstration : comme précédemment \vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}. En substituant dans l'expression générale de l'énergie cinétique d'un système, E_{k} = \sum_{i} \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2} il vient :

E_{k}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}\left (\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}\right )^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}v_{i}^{*2}+\left (\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )\cdot\vec{v_{G}}+\frac{1}{2}\left (\sum_{i} m_{i}\right )v_{G}^{2},
le premier terme de droite n'est autre que E_{k}^{*} et M\equiv \sum_{i} m_{i} est la masse totale du corps et par définition de (R*), \vec{P^{*}}=\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}=\vec{0}, le second théorème de König (2) s'obtient aussitôt.

Utilisation[modifier | modifier le code]

Les deux théorèmes de König sont valables que le système soit déformable ou non. Ils sont fréquemment appliqués au cas particulier important du solide, voir moment cinétique et énergie cinétique.