Théorème de Gordan

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Cet article court présente un sujet plus développé dans : Théorèmes de l'alternative.

Le théorème de Gordan donne une condition nécessaire et suffisante d'existence de solutions à un système linéaire d'inégalités strictes dans \R. C'est l'exemple le plus simple de « théorème de l'alternative ».

Théorème de Gordan (1873)[1] — Soit f_1,\ldots,f_k des formes linéaires sur un espace vectoriel réel de dimension finie E. Alors :

\{y\in E\,\mid\,f_1(y)> 0,f_2(y)>0,\ldots,f_k(y)> 0\} est vide

si et seulement si

0 appartient à l'enveloppe convexe de \{f_1,\ldots,f_k\}.

Note[modifier | modifier le code]