Singleton (mathématiques)

En mathématiques, un ensemble $E$ est un singleton lorsqu'il ne contient qu'un seul élément $a$, et il s'écrit alors :

$E=\left\{a\right\}$

Exemples

• $\{\pi \}$ est un singleton de réels.
• $\{\cos \}$ est un singleton de fonctions de variable réelle.
• $\{\{1\}\}$ est un singleton d'ensemble d'entiers et ne doit pas être confondu avec $\{1\}$, qui lui est un singleton d'entiers.

Propriétés

• Pour tout ensemble $E$ il n'y a qu'une seule fonction de $E$ dans le singleton, ou encore l'ensemble des fonctions de $E$ dans le singleton est un singleton.

Appartenance d'un élément à un singleton

Un élément $x$ appartient à un singleton si et seulement s'il est égal à l'élément de ce singleton ; ce qui s'écrit mathématiquement :

$(x\in \{a\})\Longleftrightarrow (x=a)$

Égalité de deux singletons

Les singletons $\{a\}$ et $\{b\}$ sont égaux si et seulement si leurs éléments sont égaux.

$(\{a\}=\{b\})\Longleftrightarrow (a=b)$

Disjonction de deux singletons

Deux singletons $\{a\}$ et $\{b\}$ sont disjoints si et seulement si leurs éléments $a$ et $b$ sont différents, ce qui revient à dire que les singletons disjoints sont les singletons différents.

$(\{a\}\cap \{b\}=\emptyset )\Longleftrightarrow (a\neq b)\Longleftrightarrow (\{a\}\neq \{b\})$

Cardinalité d'un singleton

Le cardinal d'un singleton est 1, puisque par définition il ne contient qu'un seul élément.

Confusion possible

En mécanique des solides, les torseurs sont notés entre accolades. Ainsi, $\{{\mathcal {T}}\}$ désigne un torseur statique, et non pas le singleton contenant l'élément ${\mathcal {T}}$. De même, dans ce contexte, {0} désigne le torseur nul et non pas le singleton zéro.

Voir aussi

• Ensemble
• Paire