Quantificateur (logique)

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Les expressions « pour tout » et « il existe » utilisées pour formuler des propositions mathématiques dans le calcul des prédicats sont appelées des quantifications et le symbole qui les représente en langage formel est appelé un quantificateur.

Quantification universelle[modifier | modifier le code]

La quantification universelle (« pour tout ... » ou « quel que soit ... ») se note avec le signe ∀ (un A à l'envers), plus précisément,

x P(x)

signifie

pour tout x P(x) (tout objet du domaine considéré possède la propriété P)

La notation « ∀ » a été utilisée pour la première fois par Gerhard Gentzen en 1935[1]. Le mot allemand "all" signifiant "tout", il propose un "signe valant pour tout" (All-zeichen). Gentzen indique qu'il a choisi le « A » inversé par analogie à celui du signe « ∃ » pour le quantificateur existentiel qu'il tient de Russell.

Quantification existentielle[modifier | modifier le code]

La quantification existentielle (« il existe un ... » au sens « il existe au moins un ... ») se note avec le signe ∃ (un E retourné). Plus précisément,

x P(x)

signifie

il existe au moins un x tel que P(x) (un objet au moins du domaine considéré possède la propriété P)

Pour exprimer l'unicité en plus de l'existence, le signe utilisé est ∃! (le quantificateur existentiel suivi d'un point d'exclamation), plus précisément,

∃!x P(x)

signifie

il existe un unique x tel que P(x), ou encore il existe un et un seul x tel que P(x) (un objet exactement du domaine considéré possède la propriété P).

Ce dernier quantificateur se définit en calcul des prédicats égalitaire à partir des deux quantificateurs précédents (et de l'égalité), par exemple par

∃!x P(x) ≡ ∃x [P(x) et ∀y(P(y) ⇒ y = x)].


La notation ∃ a tout d'abord été employée par Giuseppe Peano en 1897 dans le volume II de son Formulaire de mathématiques[2] avec une syntaxe différente, le signe étant directement associé au prédicat (∃ P pour notre ∃x P(x)). Bertrand Russell l'utilise le premier de la façon actuelle, comme un opérateur de liaison[1].

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Jeff Miller, Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic, sept 2010, (Premiers usages des symboles logiques dans la théorie des ensembles)
  2. [ G. Peano (1897), Formulaire de mathématiques volume II, N°1, p 47 https://ia700307.us.archive.org/5/items/formulairedemat02peangoog/formulairedemat02peangoog.pdf]

Voir aussi[modifier | modifier le code]