Opérateur hypoelliptique

En mathématiques, un opérateur différentiel défini sur un ouvert $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ est appelé opérateur hypoelliptique si pour toute distribution $u$ définie sur un ouvert $V\subset U$ telle que $Pu$ soit une fonction lisse, $u$ est nécessairement une fonction lisse également.

Si on remplace la condition d'être une fonction lisse par être une fonction analytique, on parle d'opérateurs hypoelliptiques analytiques.

Exemples et contre-exemples

Tout opérateur elliptique à coefficients ${\mathcal {C}}^{\infty }$ est hypoelliptique. En particulier, le laplacien $\Delta$ , qui est elliptique, est hypoelliptique (c'est même un opérateur hypoelliptique analytique).
L'opérateur de la chaleur $\partial _{t}-\Delta$ (associé à l'équation de la chaleur) est hypoelliptique (mais pas elliptique).
L'opérateur d'alembertien $\partial _{tt}^{2}-\Delta$ (associé à l'équation des ondes) n'est pas hypoelliptique.

Lars Hörmander, "Hypoelliptic differential operators", Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 11 (1961): 477-492
(en) Yu. V. Egorov et Schulze, Bert-Wolfgang, Pseudo-differential operators, singularities, applications, Basel/Boston/Berlin, Birkhäuser, 1997, 349 p. (ISBN 3-7643-5484-4)