Nœud bordant

Exemples

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10₇₅

10₁₂₃

Nœud de ruban

Un nœud bordant est un type de nœud mathématique.

Définitions[modifier | modifier le code]

En théorie des nœuds, un nœud est un cercle inclus dans la 3-sphère :

S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |=1\}

Cette 3-sphère peut être considérée comme le contour de la boule de rayon 1 et de dimension 4 :

B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |\leq 1\}.

Un nœud $K\subset S^{3}$ est dit bordant s'il délimite un disque D, de dimension 2, « bien intégré » dans la 4-boule $B^{4}$ ^[1]. Ce que l'on entend par « bien intégré » dépend du contexte : il existe différents termes pour différents types de nœuds bordants. Si le disque D est plongé dans la 4-boule via une fonction lisse, alors K est à bord régulier. Si D n'est plongé que de façon localement plate dans la 4-boule, (ce qui est une hypothèse plus faible), alors K est un nœud topologiquement bordant.

Exemples[modifier | modifier le code]

La liste suivante est la liste de tous les nœuds bordants comprenant 10 intersections ou moins; cette liste a été créée en utilisant The Knot Atlas :

6_{1}

,

8_{8}

,

8_{9}

,

8_{20}

,

9_{27}

,

9_{41}

,

9_{46}

,

10_{3}

,

10_{22}

,

10_{35}

,

10_{42}

,

10_{48}

,

10_{75}

,

10_{87}

,

10_{99}

,

10_{123}

,

10_{129}

,

10_{137}

,

10_{140}

,

10_{153}

et

10_{155}

.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Chaque nœud de ruban (en) est à bord régulier. Ralph Fox se demandait si chaque nœud à bord régulier était un nœud de ruban^[2].

La signature (en) d'un nœud bordant est nulle^[3]. Le polynôme d'Alexander d'un nœud bordant est le produit :

f(t)f(t^{-1})

où $f$ est un polynôme à coefficients entiers^[3]. C'est ce qu'on nomme la condition Fox–Milnor^[4].

Références[modifier | modifier le code]

↑ Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 86.
↑ Robert E. Gompf, Martin Scharlemann et Abigail Thompson, « Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures" », Geometry & Topology, vol. 14, n^o 4,‎ 2010, p. 2305–2347 (DOI 10.2140/gt.2010.14.2305, MR 2740649, arXiv 1103.1601).
↑ ^{a et b} Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 90.
↑ Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 61.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

W.B.Raymond Lickorish, An Introduction to Knot Theory, Springer Science & Business Media, coll. « Graduate Texts in Mathematics » (n^o 175), 1997, x+204 (ISBN 9780387982540).

Voir également[modifier | modifier le code]

Portail des mathématiques

[1] Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 86.

[2] Robert E. Gompf, Martin Scharlemann et Abigail Thompson, « Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures" », Geometry & Topology, vol. 14, n^o 4,‎ 2010, p. 2305–2347 (DOI 10.2140/gt.2010.14.2305, MR 2740649, arXiv 1103.1601).

[lick90-3] {a et b} Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 90.

[4] Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 61.

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