Matrice d'adjacence

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En mathématiques, une matrice d'adjacence pour un graphe fini $G$ à n sommets est une matrice de dimension n × n dont l'élément non-diagonal a_ij est le nombre d'arêtes liant le sommet $i$ au sommet $j$. L'élément diagonal a_ii est le nombre de boucles au sommet $i$ (ou deux fois ce nombre, selon certains usages).

Cet outil mathématique est très utilisé en informatique, mais intervient aussi naturellement dans les chaînes de Markov. En particulier, la probabilité limite s'interprète comme un vecteur propre.

Définition

Supposons que $G=(V,E)$ est un graphe simple, où $\left|V\right|=n$. Supposons aussi que les sommets de $G$ sont numérotés arbitrairement $v_1,\ldots,v_n$. La matrice d’adjacence $A$ de $G$ se rapportant à cet ensemble de sommets est la matrice $n\times n$ booléenne $A$ avec

$a_{ij}=\left\{\begin{array}{rl} 1 & \mbox{si } (v_i,v_j)\in E \\ 0 & \mbox{sinon.} \end{array}\right.$

Propriétés

Une fois que l'on fixe l'ordre des n sommets (il y a n! choix possibles pour cet ordre), il existe une matrice d'adjacence unique pour chaque graphe. Celle-ci n'est la matrice d'adjacence d'aucun autre graphe. Dans le cas particulier d'un graphe simple et fini, la matrice d'adjacence est une matrice binaire avec des zéros sur la diagonale. Si le graphe n'est pas orienté, la matrice d'adjacence est symétrique, ce qui veut dire que $a_{ij} = a_{ji}$.

Exemples

Graphe non orienté

Graphe orienté

Les matrices d'adjacence du graphe étiqueté (en) (non orienté) de gauche et de celui (orienté) de droite sont respectivement

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\quad\text{et}\quad\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.$

Remarque

Si $A$ est la matrice d'adjacence d'un graphe fini $G$ dont les sommets sont numérotés de $1$ à $n$, le nombre de chemins de longueur exactement $k$ allant de $i$ à $j$ est le coefficient en position $(i, j)$ de la matrice $A^k$ — ceci si chaque arête entre deux sommets a une longueur égale à 1.

Voir aussi

Articles connexes

• Matrice d'incidence
• Matrice laplacienne

Lien externe

• (en) Café math : Adjacency Matrices of Graphs : Application des matrices d'adjacence au calcul des séries génératrices de chemins.