Logique combinatoire

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Page d'aide sur l'homonymie Cet article traite de la logique combinatoire, au sens qu'a ce mot en logique mathématique et en informatique théorique. Il ne doit pas être confondu avec ce que l'on appelle logique combinatoire en électronique.

La logique combinatoire est une notation introduite par Moses Schönfinkel et Haskell Curry pour supprimer le besoin de variables en mathématiques, pour formaliser rigoureusement la notion de fonction et pour minimiser le nombre d'opérateurs nécessaires pour définir le calcul des prédicats à la suite de Henry M. Sheffer. Plus récemment elle a été utilisée en informatique comme modèle théorique de calcul et comme base pour la conception de langages de programmation fonctionnels.

Le concept de base de la logique combinatoire est celui de combinateur qui est une fonction d'ordre supérieur ; elle utilise uniquement l'application de fonctions et éventuellement d'autres combinateurs pour définir de nouvelles fonctions d'ordre supérieur. Elle a des liens très forts avec le lambda calcul et avec la logique intuitionniste grâce à la correspondance de Curry-Howard.

Introduction[modifier | modifier le code]

La logique combinatoire est fondée sur deux « opérations » de base (on dit aussi deux « combinateurs ») S et K que nous définirons plus loin ; plus précisément nous en définirons le comportement ou l'« intention », car la logique combinatoire est une approche de la logique qui montre plutôt comment marchent les choses que comment les objets peuvent être décrits, on dit alors que c'est une approche intentionnelle de la logique. Si l'on veut définir la fonction[1] que nous appellerons C et qui prend trois paramètres et rend comme résultat le premier appliqué au troisième, le tout étant appliqué au second, on pourra l'écrire :

C ≡ S ((S (K S) K) (S (K S) K) S) (K K)

qui, comme on le voit, ne comporte pas de variable. On pourra regretter que l'avantage de ne pas utiliser de variables se paie par la longueur des expressions et une certaine illisibilité. Aujourd'hui la logique combinatoire est surtout utilisée par les logiciens pour répondre positivement à la question « Est-il possible de se passer de variables ? » et par les informaticiens pour compiler les langages fonctionnels[2].

Le parenthésage 
Pour alléger l'écriture, la logique combinatoire supprime certaines parenthèses et adopte par convention l'associativité à gauche. En d'autres termes, (a b c d ... z) est un raccourci d'écriture pour (...(((a b) c) d) ... z). Cette convention est plutôt malheureuse car on adopte l'associativité à droite pour l'écriture du type du combinateur.

Les combinateurs de base[modifier | modifier le code]

Le plus simple des combinateurs est I (identité) défini par[3]

I x = x.

Un autre combinateur simple est K, il fabrique des fonctions constantes, ainsi (K x) est la fonction qui, pour tout paramètre, retourne x, autrement dit

(K x) y = x

pour tous termes x et y. Comme en lambda-calcul, on associe les applications de gauche à droite, ce qui permet de supprimer des parenthèses, ainsi on écrit

K x y = x.

Un autre combinateur de base est S qui distribue le paramètre (ici z) aux applications composantes :

S x y z = x z (y z)

S applique le résultat de l'application de x à z au résultat de l'application de y à z.

I peut être construit à partir de S et K, en effet :

(S K K) x = S K K x
= K x (K x)
= x.

On décrète donc que I est un combinateur dérivé et que I = S K K et on décide de décrire tous les combinateurs à l'aide de S et K, ce qui est raisonnable car on peut montrer que cela suffit pour décrire « toutes » les fonctions d'une certaine forme[4].

La réduction[modifier | modifier le code]

En fait, les transformations fonctionnent comme des réductions et pour cela on les note →. On obtient donc les deux règles de réduction de base de la logique combinatoire.

K x y → x,
S x y z → x z (y z).

Quelques combinateurs dérivés[modifier | modifier le code]

  • BS (K S) K. Le combinateur B correspond à l'opérateur de composition des fonctions habituellement noté « \circ ». Son nom est dérivé du syllogisme Barbara. On a donc
B x y z ≡ S (K S) K x y z
K S x (K x) y z
S (K x) y z
K x z (y z)
→ x (y z).
  • CS (B B S) (K K) est un combinateur qui intervertit ses paramètres.
C x y z ≡ S (B B S) (K K) x y z
B B S x (K K x) y z
B (S x) (K K x) y z
S x (K K x y) z
→ x z (K K x y z)
→ x z (K y z)
→ x z y
  • WS I I. Le combinateur W permet de construire un autre combinateur à savoir W W, qui a la propriété de se réduire à lui-même. On a ainsi
W WS I I (S I I)
I (S I I) (I (S I I))
S I I (I (S I I))
S I I (S I I) ≡ W W


Le système de type[modifier | modifier le code]

On peut associer un type à chacun des combinateurs. Le type d'un combinateur dit comment il prend en compte le type de ses paramètres pour produire un objet d'un certain type. Ainsi le combinateur I change son paramètre en lui-même ; si on attribue le type α à ce paramètre x, alors on peut dire que Ix a le type α et que I a le type α → α. Ici la flèche → désigne le constructeur de type fonctionnel, en gros α → α est le type de la classe des fonctions de α vers α, → a construit un nouveau type α → α à partir du type α.

K prend un paramètre, disons de type α et rend une fonction d'un paramètre de type β qui rend le premier paramètre, le type de cette dernière fonction est donc β → α et le type de K est ainsi α → (β → α), que l'on écrit α → β → α. S prend trois paramètres x, y et z ; donnons le type α au troisième paramètre z et le type γ au résultat final, le deuxième paramètre y prend un paramètre de type α et rend un paramètre de type disons β (son type est donc α → β), le premier paramètre x prend un paramètre de type α et rend une fonction de type β → γ, son type est donc α → (β → γ), que l'on écrit α → β → γ. Résumons-nous, on a z:α , y: β → α et x: α → β → γ et S x y z: γ, on en conclut que S a le type (α → β → γ) → (α → β) → α → γ.

Le résultat M N qui consiste à appliquer M à N est typable si M à un type fonctionnel, disons α → β et si N a pour type α. M N a alors pour type β.

Le type de B est (α → β) → (γ → α) → γ → β. On le voit soit en remarquant que B x y z →* x (y z), soit en appliquant la règle de composition à S (K S) K.

Le type de C est (α → β → γ) → β → α → γ, pour les mêmes raisons que celles invoquées pour B.

Le type de W est (α → α → β) → α → β.

En résumé:

K : α → β → α
S : (α → β → γ) → (α → β) → α → γ
I  : α → α
B : (α → β) → (γ → α) → γ → β
C : (α → β → γ) → β → α → γ

Forte normalisation[modifier | modifier le code]

Si M est un combinateur typé, alors toute chaine de réduction qui commence en M est finie. On appelle cette propriété la forte normalisation.

La logique combinatoire et la correspondance de Curry-Howard[modifier | modifier le code]

On constate que le modus ponens

\frac{P \to Q \qquad P}{Q}

ressemble à la règle de conservation des types quand on applique un combinateur de type α → β à un combinateur de type α. Examinons aussi les deux premiers axiomes de la présentation à la Hilbert de la logique propositionnelle à savoir:

K : PQP
S : (PQR) → (PQ) → PR.

Rappelons qu'ils permettent de formaliser le calcul propositionnel intuitionniste. On remarque que le premier axiome est identique au type de K et que le deuxième axiome est identique au type de S si l'on remplace la proposition P par α, la proposition Q par β et la proposition R par γ. Cette correspondance entre proposition et type et entre combinateur et démonstration s'appelle la correspondance de Curry-Howard. Elle met en parallèle le système de déduction à la Hilbert pour la logique propositionnelle intuitionniste et la logique combinatoire qui ont été, notons-le, découverts indépendamment.

Un exemple[modifier | modifier le code]

La formule

B : (α → β) → (γ → α) → γ → β

signifie (dans le langage de Coq, par exemple) que B est une preuve (quelconque a priori) de la formule propositionnelle (α → β) → (γ → α) → γ → β.

B ≡ S (K S) K

fournit alors une preuve effective de la formule dans la théorie de Hilbert qui n'emploie que le modus ponens et les axiomes K et S.

Cela demande un petit travail de réécriture: Tout d'abord, on rétablit les parenthèses

B ≡ (S (K S)) K

ensuite, on introduit l'opérateur

B ≡ (S ⇒ (K ⇒ S)) ⇒ K

enfin, on emploie la notation postfixée :

B ≡ K S K ⇒ S ⇒ ⇒

Alors cette formule donne les étapes de la démonstration dans le sens de la déduction[5]. ⇒ dénote le recourt au modus ponens ; K et S, l'utilisation des axiomes K et S. Plus, précisément Q ≡ I P ⇒ signifie que si I est la démonstration de PQ, et P la démonstration de P, alors I P ⇒ est bien celle de Q. Malheureusement cette formule ne fournit pas les opérations de substitutions qui doivent être utilisées dans l'introduction des axiomes.

La notation préfixée,

B ≡ ⇒ ⇒ S ⇒ K S K

représente le sens de la démonstration dans le langage de Coq[6]. Ici, les informations manquantes sont les formules des P employés dans les modus ponens.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Plus précisément le combinateur.
  2. Quoique les informaticiens utilisent une logique fondée sur des super-combinateurs moins bavarde que la logique combinatoire fondée sur S et K.
  3. x qui apparait ici n'est pas une variable du langage de la logique combinatoire, car comme on l'a dit la logique variable se passe de variables ; en fait, x est une « méta-variable » qui permet de présenter les identités de la logique combinatoire.
  4. Théorème de complétude de Harvey Friedman.
  5. c'est-à-dire, que l'on va des hypothèses (ici des axiomes) au but à atteindre.
  6. c'est-à-dire, l'ordre des "tactic" employées. Coq procède par modification du but jusqu'à l'identifier aux hypothèses, aux théorèmes, ou aux axiomes.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Haskell Curry et Robert Feys, Combinatory Logic I. North Holland 1958. La plupart du contenu de cet ouvrage fut rendu obsolète par l'ouvrage de 1972 et les suivants.
  • H. Curry, J. R. Hindley etJ. P. Seldin, Combinatory Logic II. North-Holland, 1972. Une rétrospective complète de la logique combinatoire, incluant une approche chronologique.
  • J.-P. Desclés, Langages applicatifs, langues naturelles et cognition, 1990. Paris, Hermès.
  • Jean-Pierre Ginisti, La logique combinatoire, Paris, PUF (coll. « Que sais-je? » n°3205), 1997, 127 p.
  • M. Shönfinkel, In: J. van Heijenoort, Editor, From Frege to Gödel, Harvard University Press, Cambridge, MA (1967), pp. 355–366 1924.
  • J.-L. Krivine, Lambda-calcul, types et modèles, Masson, 1990, chap. Logique combinatoire, traduction anglaise accessible sur le site de l'auteur [1].