Localisation (mathématiques)

En algèbre, la localisation est une des opérations de base de l'algèbre commutative. C'est une méthode qui construit à partir d'un anneau commutatif un nouvel anneau. La construction du corps des fractions est un cas particulier de la localisation.

Notion intuitive

La localisation consiste à rendre inversibles les éléments d'une partie ('partie multiplicative') de l'anneau. L'exemple le plus connu est le corps des fractions d'un anneau intègre qui se construit en rendant inversibles tous les éléments non-nuls de l'anneau. On peut aussi voir la localisation comme une manière d'envoyer l'anneau dans un anneau 'plus grand' dans lequel on a autorisé des divisions par des éléments qui n'étaient auparavant pas inversibles. Par exemple, le localisé de $\mathbb {Z}$ en l'idéal premier $7\mathbb {Z}$ est l'anneau $\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{11}},{\frac {1}{13}}...\right]$, dans lequel tout nombre entier qui n'est pas multiple de $7$ admet un inverse. Cet anneau correspond à une structure d'anneau à valuation discrète car il est de plus principal.

Définition

Soit A un anneau commutatif (unitaire). On cherche à rendre inversibles les éléments d'une partie S de A. Si a et b dans S deviennent inversibles, il en sera de même de leur produit dont l'inverse est alors a^-1b^-1. On travaille donc avec une partie multiplicative, c'est-à-dire un ensemble $S\subset A$ stable par multiplication et contenant 1.

La localisation de l'anneau A en la partie S est alors la donnée d'un anneau, noté S ^-1A et d'un morphisme $l_{S}\,:\,A\rightarrow S^{-1}A$ tels que :

$l_{S}(S)\subset (S^{-1}A)^{*}\quad \quad (l_{S}(s){\text{ est inversible pour tout }}s\in S),$

et qui vérifient la propriété universelle suivante : pour tout morphisme d'anneaux $f:A\rightarrow B$, si

$f(S)\subset B^{*}\quad \quad (f(s){\text{ est inversible pour tout }}s\in S),$

alors il existe un unique morphisme $g\,:\,S^{-1}A\rightarrow B$ tel que $f=g\circ l_{S}$.

L'anneau S ^-1A est aussi noté A_S ou A[S ^-1] et est appelé l'anneau des fractions de A associé à S, ou à dénominateurs dans S, ou l'anneau des fractions de A par rapport à S.

Construction

Pour construire l'anneau localisé, on procède comme dans la construction du corps des fractions mais avec une précaution supplémentaire pour tenir compte du fait que l'anneau n'est pas toujours intègre. Sur le produit cartésien $A\times S$, la relation d'équivalence est alors la suivante : $(a,s)\sim (a',s')$ si et seulement s'il existe un élément $t\in S$ tel que $t(s'a-sa')=0$. Le reste de la construction est la même que celle du corps des fractions. L'utilisation de l'élément $t$ est cruciale pour la transitivité.

Exemples importants

• Les éléments réguliers (c'est-à-dire non diviseurs de zéro) forment une partie multiplicative notée $A^{\times }$ ; l'anneau $(A^{\times })^{-1}A$ est l'anneau total des fractions de $A$; l'homomorphisme de localisation dans ce cas-là est injectif.
• Le complémentaire $A\setminus p$ d'un idéal premier $p$ est une partie multiplicative, et peut donc servir pour localiser l'anneau. Dans ce cas, on note $\displaystyle A_{p}=(A\setminus p)^{-1}A$. C'est un anneau local appelé localisé de $A$ en $p$. Plus généralement, on peut prendre pour partie multiplicative le complémentaire de la réunion d'une famille quelconque d'idéaux premiers de A. Pour une famille finie, on obtient alors un anneau semi-local.
• Lorsque $A$ est un anneau intègre, le premier exemple est un cas particulier du second. En effet, l'idéal nul est premier et son complémentaire est $A^{\times }$. Dans ce cas, $(A^{\times })^{-1}A$ est un corps appelé corps des fractions de $A$.
• Lorsque $A$ est intègre, il est égal à l'intersection, dans son corps des fractions, de ses localisés en ses idéaux maximaux.
• Lorsque $A$ n'est pas un anneau intègre, le complémentaire d'un idéal premier $p$ peut contenir des diviseurs de zéros. L'homomorphisme de localisation $A\to A_{p}$ n'est alors pas injectif. Par exemple, considérons l'anneau produit $A=K^{2}$ lorsque $K$ est un corps. Il possède deux idéaux maximaux $M_{1}=K\times 0$ et $M_{2}=0\times K$. Les deux localisations $A_{M_{i}}$ sont alors isomorphes à $K$ et les deux applications canoniques sont en fait les deux projections. Dans ce cas, on constate qu'inverser des éléments n'augmente pas le nombre de ceux-ci mais au contraire le diminue.
• Soit $f$ un élément de $A$. L'ensemble $S$ union de {1} et des puissances $f^{n}$ positives forment une partie multiplicative de $A$. La localisation de $A$ par rapport à cette partie multiplicative est notée $A_{f}$. Remarquons que $A_{f}$ est l'anneau nul si et seulement si $f$ est nilpotent. Lorsque $A$ est intègre, $A_{f}$ est l'ensemble des fractions qui peuvent s'exprimer comme le quotient d'un élément de $A$ par une puissance positive de $f$.

Explication du terme localisation

Prenons l'anneau des polynômes ℂ[X]. Comme ℂ est algébriquement clos, le spectre d'anneau de ℂ[X] s'identifie à ℂ lui-même (avec un point supplémentaire correspondant à l'idéal nul). Le localisé en l'idéal maximal engendré par X, (X)= Xℂ[X], s'appelle le localisé en $0$ et est précisément l'anneau des polynômes dans lequel on a autorisé toutes les divisions exceptées celles par les polynômes s'annulant en 0. Ce nouvel anneau est l'ensemble des fractions rationnelles sans pôle en 0 (donc holomorphes dans un voisinage de 0). Il permet de s'intéresser aux propriétés des polynômes au voisinage de $0$, d'où le terme d'anneau localisé.

Spectre d'une localisation

Soit $S$ une partie multiplicative de $A$. Alors l'ensemble des idéaux premiers de $S^{-1}A$ peut s'identifier à la partie des idéaux premiers de $A$ disjoints de $S$. Plus précisément, soit $\displaystyle l_{S}:A\to S^{-1}A$ le morphisme canonique. Pour tout idéal premier $Q$ de $S^{-1}A$, $\displaystyle l_{S}^{-1}(Q)$ est un idéal premier de $A$ qui est disjoint de $S$, et cette correspondance est biunivoque, la correspondance réciproque associant un idéal premier $P$ de $A$ l'idéal $l_{S}(P)S^{-1}A$ de $S^{-1}A$. De plus, le morphisme canonique entre les anneaux intègres $\displaystyle A/l_{S}^{-1}(Q)\to S^{-1}A/Q$ induit un isomorphisme entre leurs corps des fractions.

Noter qu'en général, cette correspondance n'existe pas pour les idéaux maximaux (considérer l'exemple avec $A$ égal à l'anneau des entiers et $S^{-1}A$ son corps des fractions).

Localisation de modules

Soient $A$ et $S$ comme avant. Soit $M$ un $A$-module. Alors la localisation $S^{-1}M$ est un $S^{-1}A$-module muni d'un homomorphisme $A$-linéaire $f:M\to S^{-1}M$ tel que tout homorphisme $A$-linéaire $M\to N$ dans un $S^{-1}A$-module $N$ se factorise de façon unique en composé de $f$ avec un homomorphisme $S^{-1}A$-linéaire $S^{-1}M\to N$. Concrètement, $S^{-1}M$ est l'ensemble $M\times S$ modulo la relation d'équivalence: $(x,s)~(x',s')$ si set seulement s'il existe $t$ dans $S$ tel que $t(s'x-sx')=0$. L'application canonique $M\to S^{-1}M$ consiste à envoyer $x$ sur la classe de $(x,1)$. Son noyau est le sous-module des $x$ annulé par un élément de $S$.

On peut montrer que $S^{-1}M$ est isomorphe au produit tensoriel de $M$ et $S^{-1}A$ sur $A$.