Groupe de Higman-Sims

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En mathématiques, le groupe de Higman–Sims est un groupe sporadique simple fini d'ordre    29 · 32 · 53 · 7 · 11 = 44 352 000. Il peut être caractérisé comme le sous-groupe simple d'indice 2 dans le groupe des automorphismes du graphe de Higman-Sims. Le graphe de Higman–Sims possède 100 sommets, donc le groupe de Higman-Sims, ou HS, a une représentation de permutation de degré 100.

HS est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Donald G. Higman (en) et Charles Sims (en), qui le découvrirent en 1967, alors qu'ils assistaient à une présentation par Marshall Hall du groupe de Hall-Janko (en), qui possède une représentation de degré 100, avec des orbites de cardinal 1, 36 et 63. Ils firent le rapprochement avec le groupe de Mathieu M_{22}, qui possède aussi une représentation de degré 100, avec des orbites de cardinal 1, 22 et 77. Le système de Steiner (en) M_{22} possède 77 blocs. Rapidement, ils trouvèrent HS, avec un stabilisateur d'un point isomorphe à M_{22}.

« Higman » peut aussi faire référence au mathématicien Graham Higman de l'université d'Oxford qui découvrit simultanément le groupe comme le groupe d'automorphismes d'une certaine « géométrie » sur 176 points. En conséquence, HS possède une représentation doublement transitive de degré 176.

Rapport avec les groupes de Conway[modifier | modifier le code]

Dans son article de 1968 maintenant classique, John Horton Conway montra comment le graphe de Higman-Sims pouvait être incorporé dans le réseau de Leech. Ici, HS fixe un triangle 3-3-2 et un sous-réseau à 22 dimensions. Le groupe devient ainsi un sous-groupe de chaque groupe de Conway Co_1, Co_2 et Co_3. Ceci donne une manière explicite pour approcher les représentations à petites dimensions du groupe, et avec elle, un moyen direct pour le calcul à l'intérieur du groupe.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Higman–Sims group » (voir la liste des auteurs)
  • (en) John H. Conway, « A Perfect Group of Order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups », PNAS, vol. 61, no 2,‎ 1968, p. 398-400
  • (en) John D. Dixon et Brian Mortimer, Permutation Groups, Springer-Verlag,‎ 1996
  • (en) Joseph Gallian (en), « The Search for Finite Simple Groups », Mathematics Magazine, vol. 49, no 4,‎ 1976, p. 163-179
  • (en) D. G. Higman et C. C. Sims, « A simple group of order 44,352,000 », Math. Zeit. (de), vol. 105,‎ 1968, p. 110-113 (lire en ligne)