Générateur infinitésimal

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Un générateur infinitésimal est un outil de calcul stochastique, utilisé notamment pour les processus de Markov à temps continu.

Dans les chaînes de Markov à temps continu[modifier | modifier le code]

  • Soit le processus stochastique \{X(t), t\geq0\} à temps continu et à états discrets.
    • Soit \tau_i la variable aléatoire désignant le temps que passe le processus à l'état i avant de passer dans un autre état. Les chaînes de Markov à temps continu sont des processus stochastiques qui doivent (entre autres) vérifier la propriété de non-vieillissement :
      P[\tau_i>s+t | \tau_i>t] = P[\tau_i>s],
      ce qui signifie que le temps qu'il reste à passer dans un état ne dépend pas du temps déjà passé dans cet état.
      De cette propriété on peut déduire que dans une chaîne de Markov à temps continu les variables aléatoires \tau_i suivent des lois exponentielles (car celles-ci sont les seules lois de probabilités continues vérifiant la propriété de non-vieillissement).
    • On notera p_{ij}(t) la probabilité que partant de l'état i à un instant s, on soit dans j à l'instant t+s. C'est-à-dire :
p_{ij}(t)= P[X(t+s)=j | X(s)=i] = P[X(t)=j | X(0)=i].
Les fonctions p_{ij}(t) sont appelées « fonctions de transition de la chaîne », et ont a la propriété :
Pour tout i,  \sum_{j=0}^\infty p_{ij}(t)=1 (c'est-à-dire que l'on doit forcément être dans un des états au temps t.)
Par ailleurs ces fonctions vérifient les équations de Chapman-Kolmogorov continues.

Notes et références[modifier | modifier le code]