Fonction de Liapounov

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Une fonction de Liapounov est une fonction qui permet d'estimer la stabilité d'une solution d'une équation différentielle.

Position du problème[modifier | modifier le code]

Soit

f :\R^n \to\R^n une fonction et \dot{x} = f(x) un système dynamique, avec x^* un point d'équilibre de ce système : f(x^*) = 0.

Par un changement de variable y := x - x^*, on peut se ramener au cas où l'origine est un point d'équilibre (f(0)=0).

Définition[modifier | modifier le code]

Une fonction V : \R^n \to\R est une fonction candidate de Liapounov si

  • V(0) = 0
  • \forall x \in U - \{0\}, \, V(x) > 0

pour un certain voisinage U de l'origine.

La dérivée de la fonction V le long du champ de vecteurs f est alors (par définition)

\dot{V}(x) = \langle \nabla V(x), f(x)\rangle

\langle\ ,\ \rangle désigne le produit scalaire dans l'espace considéré.

Si une fonction candidate de Liapounov V vérifie

\forall x \in W - \{0\}, \ \dot{V}(x) \leq 0

pour un certain voisinage W de l'origine, on dit que V est une fonction de Liapounov.

Théorème[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Stabilité de Lyapunov.

Il existe une fonction de Liapounov pour le système dynamique considéré, si, et seulement si l'origine est un équilibre stable de ce système.

De plus, l'origine est asymptotiquement stable si, et seulement s'il existe une fonction de Liapounov  V vérifiant

\forall x \in W - \{0\}, \ \dot{V}(x) < 0.

Ce théorème, dû à plusieurs auteurs (Alexandre Liapounov, K. P. Persidsky, José Luis Massera (en)) est l'un des principaux résultats de la théorie de la stabilité de Lyapunov ; sa démonstration est donnée au paragraphe théorèmes fondamentaux de cet article.

Bibliographie[modifier | modifier le code]